Номер 9, страница 149 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

9. Какое свойство имеют коллинеарные векторы?

Коллинеарные векторы — это ненулевые векторы, которые лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Нулевой вектор ($\vec{0}$) по определению считается коллинеарным любому вектору.

Главное свойство, которое объединяет все коллинеарные векторы, — это пропорциональность. Рассмотрим его и связанные с ним следствия.

Алгебраическое свойство (условие коллинеарности)

Два вектора $\vec{a}$ и $\vec{b}$ называются коллинеарными, если существует такое число $k$ (скаляр), что выполняется равенство:

$\vec{a} = k \cdot \vec{b}$

Это означает, что один вектор можно получить из другого умножением на число. На практике это свойство проверяется через пропорциональность соответствующих координат:

• Для векторов на плоскости $\vec{a} = (x_1; y_1)$ и $\vec{b} = (x_2; y_2)$ их координаты должны быть пропорциональны (при $x_2 \neq 0, y_2 \neq 0$):

  $\frac{x_1}{x_2} = \frac{y_1}{y_2}$

• Для векторов в пространстве $\vec{a} = (x_1; y_1; z_1)$ и $\vec{b} = (x_2; y_2; z_2)$ (при $x_2, y_2, z_2 \neq 0$):

  $\frac{x_1}{x_2} = \frac{y_1}{y_2} = \frac{z_1}{z_2}$

Коэффициент $k$ также определяет взаимное направление векторов:

• Если $k > 0$, векторы сонаправлены ($\vec{a} \uparrow\uparrow \vec{b}$).

• Если $k < 0$, векторы противоположно направлены ($\vec{a} \uparrow\downarrow \vec{b}$).

Геометрическое свойство

Геометрически коллинеарные векторы всегда параллельны друг другу (или лежат на одной прямой). Угол $\theta$ между ними может принимать только два значения:

• $\theta = 0^\circ$ (или 0 радиан), если векторы сонаправлены.

• $\theta = 180^\circ$ (или $\pi$ радиан), если векторы противоположно направлены.

Свойство векторного произведения (для векторов в 3D)

Векторное произведение двух коллинеарных векторов всегда равно нулевому вектору ($\vec{0}$). Это следует из формулы для модуля векторного произведения $|\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \sin(\theta)$, где $\sin(0^\circ) = 0$ и $\sin(180^\circ) = 0$.

$\vec{a} \times \vec{b} = \vec{0}$

Свойство скалярного произведения

Модуль скалярного произведения коллинеарных векторов равен произведению их длин (модулей). Это следует из того, что $\cos(0^\circ) = 1$ и $\cos(180^\circ) = -1$, поэтому $|\cos(\theta)|=1$.

$|\vec{a} \cdot \vec{b}| = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}|$

Ответ: Основное свойство коллинеарных векторов — их координаты пропорциональны. Это значит, что один вектор можно получить из другого умножением на скаляр $k$. Геометрически это свойство проявляется в том, что векторы лежат на одной прямой или на параллельных прямых.