Номер 12, страница 149 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

12. Какое свойство имеют некомпланарные векторы?

Некомпланарными называют три вектора, которые не лежат в одной плоскости. Это означает, что если отложить эти векторы от одной общей точки, то невозможно провести плоскость, которая содержала бы все три вектора.

Ключевое свойство трех некомпланарных векторов заключается в том, что они образуют базис в трехмерном пространстве. Это свойство имеет несколько важных следствий:

1. Разложение любого вектора по базису. Любой вектор $\vec{d}$ в трехмерном пространстве можно представить, и притом единственным образом, в виде линейной комбинации трех некомплалярных векторов $\vec{a}$, $\vec{b}$ и $\vec{c}$.

Это выражается формулой:

$\vec{d} = x\vec{a} + y\vec{b} + z\vec{c}$

Здесь $x$, $y$, $z$ — это некоторые числа, которые называются координатами вектора $\vec{d}$ в базисе ($\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$). Единственность означает, что для каждого вектора $\vec{d}$ существует только одна такая тройка чисел.

2. Линейная независимость. Три некомпланарных вектора всегда линейно независимы. Это означает, что их линейная комбинация равна нулевому вектору ($\vec{0}$) только в том тривиальном случае, когда все коэффициенты равны нулю.

$x\vec{a} + y\vec{b} + z\vec{c} = \vec{0} \iff x=0, y=0, z=0$

Если бы векторы были компланарны (линейно зависимы), то можно было бы выразить один из них через два других, и они лежали бы в одной плоскости.

3. Ненулевое смешанное произведение. Критерием некомпланарности трех векторов является то, что их смешанное произведение отлично от нуля. Смешанное произведение векторов $\vec{a}$, $\vec{b}$ и $\vec{c}$ — это скаляр, равный $(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}$.

$(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c} \neq 0$

Геометрически модуль смешанного произведения равен объему параллелепипеда, построенного на этих векторах. Если объем не равен нулю, значит, фигура объемная, а векторы не лежат в одной плоскости.

Ответ: Основное свойство трех некомпланарных векторов заключается в том, что они являются линейно независимыми и образуют базис в трехмерном пространстве. Это позволяет любой вектор пространства однозначно представить в виде их линейной комбинации. Критерием некомпланарности является ненулевое значение их смешанного произведения.