Номер 11, страница 149 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

11. Какое свойство имеют компланарные векторы?

Компланарные векторы — это векторы, которые при приведении к общему началу лежат в одной плоскости. Другими словами, существует плоскость, которой все эти векторы параллельны.

Основное свойство компланарных векторов связано с их линейной зависимостью и смешанным произведением.

Свойство линейной зависимости

Три вектора $\vec{a}$, $\vec{b}$ и $\vec{c}$ являются компланарными тогда и только тогда, когда они линейно зависимы. Это означает, что существуют такие числа $k_1$, $k_2$, $k_3$, не все равные нулю одновременно, что выполняется равенство:

$k_1\vec{a} + k_2\vec{b} + k_3\vec{c} = \vec{0}$

Из этого следует, что один из векторов можно выразить через два других. Например, если векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ не коллинеарны (не лежат на одной прямой), то вектор $\vec{c}$ можно представить в виде их линейной комбинации:

$\vec{c} = x\vec{a} + y\vec{b}$

где $x$ и $y$ — некоторые числовые коэффициенты. Геометрически это означает, что вектор $\vec{c}$ является диагональю параллелограмма, построенного на векторах $x\vec{a}$ и $y\vec{b}$.

Свойство смешанного произведения

Необходимым и достаточным условием компланарности трех векторов $\vec{a}$, $\vec{b}$ и $\vec{c}$ является равенство их смешанного произведения нулю. Смешанное произведение $(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}$ — это скаляр, который геометрически равен объему параллелепипеда, построенного на этих трех векторах (взятому со знаком «+» или «-» в зависимости от ориентации тройки векторов).

Если векторы компланарны, то построенный на них параллелепипед будет "плоским", то есть его объем равен нулю.

Если векторы заданы своими координатами в декартовой системе: $\vec{a} = (a_x, a_y, a_z)$, $\vec{b} = (b_x, b_y, b_z)$, $\vec{c} = (c_x, c_y, c_z)$, то их смешанное произведение вычисляется как определитель матрицы, составленной из их координат:

$(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c} = \begin{vmatrix} a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \\ c_x & c_y & c_z \end{vmatrix}$

Таким образом, условие компланарности векторов имеет вид:

$\begin{vmatrix} a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \\ c_x & c_y & c_z \end{vmatrix} = 0$

Ответ: Основное свойство компланарных векторов заключается в их линейной зависимости (один из трех векторов можно выразить как линейную комбинацию двух других). Эквивалентным и широко используемым свойством является то, что смешанное произведение трех компланарных векторов всегда равно нулю.