Номер 15, страница 149 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

15. Как найти координаты суммы векторов?

Чтобы найти координаты вектора, который является суммой двух или более векторов, необходимо сложить их соответствующие (одноименные) координаты. Это правило справедливо для векторов в любой системе координат (на плоскости, в пространстве и т.д.).

Сложение векторов на плоскости (в двумерном пространстве)

Пусть даны два вектора $\vec{a}$ и $\vec{b}$ с координатами $\vec{a} = \{x_1; y_1\}$ и $\vec{b} = \{x_2; y_2\}$.

Координаты их суммы, вектора $\vec{c} = \vec{a} + \vec{b}$, вычисляются по формуле:

$\vec{c} = \{x_1 + x_2; y_1 + y_2\}$

Пример:

Даны векторы $\vec{a} = \{3; 7\}$ и $\vec{b} = \{-2; 1\}$. Найдем координаты их суммы.

$\vec{a} + \vec{b} = \{3 + (-2); 7 + 1\} = \{1; 8\}$

Ответ: $\{1; 8\}$.

Сложение векторов в пространстве (в трехмерном пространстве)

Пусть даны два вектора $\vec{p}$ и $\vec{q}$ с координатами $\vec{p} = \{x_1; y_1; z_1\}$ и $\vec{q} = \{x_2; y_2; z_2\}$.

Координаты их суммы, вектора $\vec{r} = \vec{p} + \vec{q}$, вычисляются аналогично, путем сложения всех трех соответствующих координат:

$\vec{r} = \{x_1 + x_2; y_1 + y_2; z_1 + z_2\}$

Пример:

Даны векторы $\vec{p} = \{10; -4; 5\}$ и $\vec{q} = \{-7; 8; -3\}$. Найдем координаты их суммы.

$\vec{p} + \vec{q} = \{10 + (-7); -4 + 8; 5 + (-3)\} = \{3; 4; 2\}$

Ответ: $\{3; 4; 2\}$.

Общий случай (сумма нескольких векторов)

Правило распространяется и на сумму трех и более векторов. Чтобы найти координаты результирующего вектора, нужно сложить все первые координаты, все вторые, все третьи и т.д.

Например, для трех векторов $\vec{a}=\{x_1; y_1; z_1\}$, $\vec{b}=\{x_2; y_2; z_2\}$ и $\vec{d}=\{x_3; y_3; z_3\}$ их сумма $\vec{s}$ будет иметь координаты:

$\vec{s} = \vec{a} + \vec{b} + \vec{d} = \{x_1 + x_2 + x_3; y_1 + y_2 + y_3; z_1 + z_2 + z_3\}$