Номер 385, страница 150 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

385. Диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в точке O. $ \vec{OA} = \vec{a} $, $ \vec{OB} = \vec{b} $ (рис. 355). Через векторы $ \vec{a} $ и $ \vec{b} $ выразите вектор:

а) $ \vec{CO} $;

б) $ \vec{CA} $;

в) $ \vec{BD} $;

г) $ \vec{BC} $;

д) $ \vec{AB} $;

е) $ \vec{CD} $.

Рис. 355

Поскольку $ABCD$ — параллелограмм, его диагонали $AC$ и $BD$ в точке пересечения $O$ делятся пополам. Это означает, что $O$ является серединой диагоналей $AC$ и $BD$. Из этого свойства следуют векторные равенства: $\vec{OC} = -\vec{OA}$ и $\vec{OD} = -\vec{OB}$. Используя данные условия $\vec{OA} = \vec{a}$ и $\vec{OB} = \vec{b}$, выразим искомые векторы.

а) $\vec{CO}$;

Вектор $\vec{CO}$ является противоположным вектору $\vec{OC}$. Из свойства диагоналей параллелограмма имеем $\vec{OC} = -\vec{OA}$. По условию $\vec{OA} = \vec{a}$, значит $\vec{OC} = -\vec{a}$.
Следовательно, $\vec{CO} = -(\vec{OC}) = -(-\vec{a}) = \vec{a}$.
Ответ: $\vec{a}$

б) $\vec{CA}$;

Вектор $\vec{CA}$ можно представить как сумму векторов $\vec{CO}$ и $\vec{OA}$ по правилу треугольника. $\vec{CA} = \vec{CO} + \vec{OA}$.
Из предыдущего пункта мы знаем, что $\vec{CO} = \vec{a}$. По условию $\vec{OA} = \vec{a}$.
Таким образом, $\vec{CA} = \vec{a} + \vec{a} = 2\vec{a}$.
Ответ: $2\vec{a}$

в) $\vec{BD}$;

Вектор $\vec{BD}$ можно найти как сумму векторов $\vec{BO} + \vec{OD}$.
Вектор $\vec{BO}$ противоположен вектору $\vec{OB}$, поэтому $\vec{BO} = -\vec{OB} = -\vec{b}$.
Вектор $\vec{OD}$ также противоположен вектору $\vec{OB}$, так как $O$ — середина $BD$, поэтому $\vec{OD} = -\vec{OB} = -\vec{b}$.
Следовательно, $\vec{BD} = \vec{BO} + \vec{OD} = (-\vec{b}) + (-\vec{b}) = -2\vec{b}$.
Ответ: $-2\vec{b}$

г) $\vec{BC}$;

Для нахождения вектора $\vec{BC}$ воспользуемся правилом треугольника для векторов: $\vec{BC} = \vec{BO} + \vec{OC}$.
Мы знаем, что $\vec{BO} = -\vec{OB} = -\vec{b}$ и $\vec{OC} = -\vec{OA} = -\vec{a}$.
Сложив векторы, получаем: $\vec{BC} = (-\vec{b}) + (-\vec{a}) = -\vec{a} - \vec{b}$.
Ответ: $-\vec{a} - \vec{b}$

д) $\vec{AB}$;

Применим правило треугольника для векторов к треугольнику $OAB$: $\vec{AB} = \vec{AO} + \vec{OB}$.
Вектор $\vec{AO}$ противоположен вектору $\vec{OA}$, поэтому $\vec{AO} = -\vec{OA} = -\vec{a}$.
Нам дан вектор $\vec{OB} = \vec{b}$.
Следовательно, $\vec{AB} = -\vec{a} + \vec{b} = \vec{b} - \vec{a}$.
Ответ: $\vec{b} - \vec{a}$

е) $\vec{CD}$.

В параллелограмме $ABCD$ противоположные стороны параллельны и равны, поэтому векторы, представляющие их, связаны соотношением $\vec{CD} = \vec{BA} = -\vec{AB}$.
Из предыдущего пункта мы знаем, что $\vec{AB} = \vec{b} - \vec{a}$.
Значит, $\vec{CD} = -(\vec{b} - \vec{a}) = \vec{a} - \vec{b}$.
Альтернативный способ: $\vec{CD} = \vec{CO} + \vec{OD} = \vec{a} + (-\vec{b}) = \vec{a} - \vec{b}$.
Ответ: $\vec{a} - \vec{b}$