Номер 388, страница 151 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

388. Основанием пирамиды SABCD является параллелограмм. Верно ли, что:

а) $\vec{SB} - \vec{SA} = \vec{SC} - \vec{SD}$;

б) $\vec{SB} - \vec{SC} = \vec{DA}$?

а)

Для проверки равенства $\vec{SB} - \vec{SA} = \vec{SC} - \vec{SD}$ воспользуемся правилом вычитания векторов. Разность двух векторов, отложенных от одной точки (например, $\vec{OA}$ и $\vec{OB}$), есть вектор, соединяющий их концы ($\vec{AB}$), направленный от конца вычитаемого к концу уменьшаемого: $\vec{OB} - \vec{OA} = \vec{AB}$.

Применим это правило к левой части равенства: $\vec{SB} - \vec{SA} = \vec{AB}$.

Теперь применим это же правило к правой части равенства: $\vec{SC} - \vec{SD} = \vec{DC}$.

Таким образом, исходное равенство можно переписать в виде $\vec{AB} = \vec{DC}$.

По условию, в основании пирамиды лежит параллелограмм $ABCD$. По определению параллелограмма, его противолежащие стороны равны по длине и параллельны. Это означает, что векторы, образованные противолежащими сторонами, равны, если они сонаправлены. Векторы $\vec{AB}$ и $\vec{DC}$ как раз и представляют противолежащие стороны параллелограмма, причем они сонаправлены (от $A$ к $B$ и от $D$ к $C$). Следовательно, равенство $\vec{AB} = \vec{DC}$ верно.

Поскольку мы показали, что исходное равенство эквивалентно верному равенству, то оно тоже верно.

Ответ: верно.

б)

Рассмотрим равенство $\vec{SB} - \vec{SC} = \vec{DA}$.

Преобразуем левую часть по правилу вычитания векторов: $\vec{SB} - \vec{SC} = \vec{CB}$.

Исходное равенство принимает вид $\vec{CB} = \vec{DA}$.

В параллелограмме $ABCD$ противолежащие стороны $BC$ и $AD$ равны и параллельны. Это означает, что векторы $\vec{BC}$ и $\vec{AD}$ равны: $\vec{BC} = \vec{AD}$.

Вектор, противоположный данному, имеет ту же длину, но противоположное направление. Так, $\vec{CB} = -\vec{BC}$ и $\vec{DA} = -\vec{AD}$.

Возьмем верное для параллелограмма равенство $\vec{BC} = \vec{AD}$ и умножим обе его части на $-1$. Получим: $-\vec{BC} = -\vec{AD}$.

Заменяя каждый вектор на противоположный, приходим к равенству: $\vec{CB} = \vec{DA}$.

Это в точности то равенство, которое нам нужно было проверить. Следовательно, оно верно.

Ответ: верно.