Номер 386, страница 150 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

386. В треугольнике ABC точки M и K — середины отрезков AB и BC (рис. 356). Выразите векторы:

a) $\overline{AK}$ и $\overline{AC}$ через векторы $\overline{BM}$ и $\overline{BK}$;

б) $\overline{BM}$ и $\overline{BK}$ через векторы $\overline{AK}$ и $\overline{AC}$.

Рис. 356

а)

По условию задачи, точка $M$ — середина отрезка $AB$, а точка $K$ — середина отрезка $BC$. Из этого следуют следующие векторные равенства:

Так как $M$ — середина $AB$, то $\overrightarrow{AB} = 2\overrightarrow{MB}$. Векторы $\overrightarrow{BM}$ и $\overrightarrow{MB}$ равны по модулю, но противоположны по направлению, поэтому $\overrightarrow{MB} = -\overrightarrow{BM}$. Следовательно, $\overrightarrow{AB} = -2\overrightarrow{BM}$.

Так как $K$ — середина $BC$, то $\overrightarrow{BC} = 2\overrightarrow{BK}$.

Теперь выразим векторы $\overrightarrow{AK}$ и $\overrightarrow{AC}$ через $\overrightarrow{BM}$ и $\overrightarrow{BK}$, используя правило сложения векторов (правило треугольника).

Для вектора $\overrightarrow{AK}$ в треугольнике $ABK$ имеем:

$\overrightarrow{AK} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BK}$

Подставим ранее полученное выражение для $\overrightarrow{AB}$:

$\overrightarrow{AK} = -2\overrightarrow{BM} + \overrightarrow{BK}$

Для вектора $\overrightarrow{AC}$ в треугольнике $ABC$ имеем:

$\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}$

Подставим выражения для $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{BC}$:

$\overrightarrow{AC} = -2\overrightarrow{BM} + 2\overrightarrow{BK}$

Ответ: $\overrightarrow{AK} = -2\overrightarrow{BM} + \overrightarrow{BK}$; $\overrightarrow{AC} = 2\overrightarrow{BK} - 2\overrightarrow{BM}$.

б)

Для решения этой части задачи воспользуемся результатами, полученными в пункте а). Мы получили систему из двух векторных уравнений:

1) $\overrightarrow{AK} = -2\overrightarrow{BM} + \overrightarrow{BK}$

2) $\overrightarrow{AC} = -2\overrightarrow{BM} + 2\overrightarrow{BK}$

Нам нужно решить эту систему относительно векторов $\overrightarrow{BM}$ и $\overrightarrow{BK}$. Для этого выразим их через $\overrightarrow{AK}$ и $\overrightarrow{AC}$.

Вычтем из второго уравнения первое, чтобы найти вектор $\overrightarrow{BK}$:

$\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AK} = (-2\overrightarrow{BM} + 2\overrightarrow{BK}) - (-2\overrightarrow{BM} + \overrightarrow{BK})$

$\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AK} = -2\overrightarrow{BM} + 2\overrightarrow{BK} + 2\overrightarrow{BM} - \overrightarrow{BK}$

$\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AK} = \overrightarrow{BK}$

Таким образом, мы выразили вектор $\overrightarrow{BK}$:

$\overrightarrow{BK} = \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AK}$

Теперь найдем выражение для вектора $\overrightarrow{BM}$. Подставим найденное выражение для $\overrightarrow{BK}$ в первое уравнение системы:

$\overrightarrow{AK} = -2\overrightarrow{BM} + (\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AK})$

Перенесем слагаемые, чтобы выразить $2\overrightarrow{BM}$:

$2\overrightarrow{BM} = \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AK} - \overrightarrow{AK}$

$2\overrightarrow{BM} = \overrightarrow{AC} - 2\overrightarrow{AK}$

Разделив обе части на 2, получим искомое выражение для $\overrightarrow{BM}$:

$\overrightarrow{BM} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AK}$

Ответ: $\overrightarrow{BM} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AK}$; $\overrightarrow{BK} = \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AK}$.