Номер 382, страница 149 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

382. Дан параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$ (рис. 353).

Укажите векторы с концами в вершинах параллелепипеда, которые равны векторам:

a) $\overline{AB}$, $\overline{B_1B}$, $\overline{A_1B}$, $\overline{DB}$, $\overline{D_1C}$;

б) $\overline{AB} + \overline{A_1D_1}$, $\overline{AB} + \overline{CD_1}$, $\overline{A_1B} + \overline{C_1D_1}$, $\overline{DB} + \overline{CC_1}$, $\overline{D_1C} + \overline{BA_1}$;

в) $\overline{AB} - \overline{D_1A}$, $\overline{BC} - \overline{AA_1}$, $\overline{A_1B} + \overline{CC_1}$, $\overline{DB} - \overline{DA_1}$, $\overline{D_1C} - \overline{AD}$.

Для решения задачи воспользуемся свойствами векторов в параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$. В параллелепипеде противоположные грани являются равными параллелограммами, а противоположные ребра параллельны и равны. Это означает, что векторы, лежащие на параллельных ребрах и одинаково направленные, равны.

Например:

• $\vec{AB} = \vec{DC} = \vec{A_1B_1} = \vec{D_1C_1}$
• $\vec{AD} = \vec{BC} = \vec{A_1D_1} = \vec{B_1C_1}$
• $\vec{AA_1} = \vec{BB_1} = \vec{CC_1} = \vec{DD_1}$

Сложение и вычитание векторов будем производить по правилу треугольника или правилу параллелограмма.

а)

$\vec{AB}$: Векторы, равные вектору $\vec{AB}$, должны быть ему коллинеарны, сонаправлены и равны по длине. В данном параллелепипеде это векторы, направленные вдоль ребер, параллельных ребру $AB$.
Ответ: $\vec{DC}, \vec{A_1B_1}, \vec{D_1C_1}$.

$\vec{B_1B}$: Этот вектор направлен от вершины $B_1$ к вершине $B$. Ему равны векторы, направленные вдоль других боковых ребер в том же направлении (сверху вниз).
Ответ: $\vec{A_1A}, \vec{C_1C}, \vec{D_1D}$.

$\vec{A_1B}$: Этот вектор является диагональю грани $ABB_1A_1$. Рассмотрим его как сумму векторов: $\vec{A_1B} = \vec{A_1A} + \vec{AB}$. Вектор с такими же свойствами можно найти в параллельной грани $DCC_1D_1$. Это вектор $\vec{D_1C}$. Проверим: $\vec{D_1C} = \vec{D_1D} + \vec{DC}$. Так как $\vec{A_1A} = \vec{D_1D}$ и $\vec{AB} = \vec{DC}$, то $\vec{A_1B} = \vec{D_1C}$.
Ответ: $\vec{D_1C}$.

$\vec{DB}$: Этот вектор является диагональю основания $ABCD$. Его можно представить как сумму $\vec{DB} = \vec{DA} + \vec{AB}$. Аналогичный вектор в верхнем основании $A_1B_1C_1D_1$ - это $\vec{D_1B_1}$. Проверим: $\vec{D_1B_1} = \vec{D_1A_1} + \vec{A_1B_1}$. Так как $\vec{DA} = \vec{D_1A_1}$ и $\vec{AB} = \vec{A_1B_1}$, то $\vec{DB} = \vec{D_1B_1}$.
Ответ: $\vec{D_1B_1}$.

$\vec{D_1C}$: Этот вектор является диагональю грани $DCC_1D_1$. Как было показано при рассмотрении вектора $\vec{A_1B}$, $\vec{D_1C} = \vec{D_1D} + \vec{DC}$. Ему равен вектор $\vec{A_1B} = \vec{A_1A} + \vec{AB}$.
Ответ: $\vec{A_1B}$.

б)

$\vec{AB} + \vec{A_1D_1}$: Заменим вектор $\vec{A_1D_1}$ на равный ему вектор $\vec{AD}$. Получим сумму $\vec{AB} + \vec{AD}$. По правилу параллелограмма для векторов, отложенных от одной точки $A$, их сумма равна вектору диагонали параллелограмма $ABCD$, исходящей из той же точки. Это вектор $\vec{AC}$.
Ответ: $\vec{AC}$.

$\vec{AB} + \vec{CD_1}$: Заменим вектор $\vec{AB}$ на равный ему вектор $\vec{DC}$. Получим сумму $\vec{DC} + \vec{CD_1}$. По правилу треугольника (цепочки векторов), эта сумма равна вектору $\vec{DD_1}$.
Ответ: $\vec{DD_1}$.

$\vec{A_1B} + \vec{C_1D_1}$: Вектор $\vec{C_1D_1}$ равен вектору $\vec{BA}$ (противоположен вектору $\vec{AB}$). Представим вектор $\vec{A_1B}$ в виде суммы $\vec{A_1A} + \vec{AB}$. Тогда выражение примет вид: $(\vec{A_1A} + \vec{AB}) + \vec{BA} = \vec{A_1A} + (\vec{AB} + \vec{BA}) = \vec{A_1A} + \vec{0} = \vec{A_1A}$.
Ответ: $\vec{A_1A}$.

$\vec{DB} + \vec{CC_1}$: Заменим вектор $\vec{CC_1}$ на равный ему вектор $\vec{BB_1}$. Получим сумму $\vec{DB} + \vec{BB_1}$. По правилу треугольника, эта сумма равна вектору $\vec{DB_1}$.
Ответ: $\vec{DB_1}$.

$\vec{D_1C} + \vec{BA_1}$: Из пункта а) мы знаем, что $\vec{D_1C} = \vec{A_1B}$. Заменим $\vec{D_1C}$ в выражении: $\vec{A_1B} + \vec{BA_1}$. По правилу треугольника, сумма этих векторов равна $\vec{A_1A_1}$, что является нулевым вектором. Вектор $\vec{BA_1}$ противоположен вектору $\vec{A_1B}$, то есть $\vec{BA_1} = -\vec{A_1B}$. Тогда сумма равна $\vec{A_1B} - \vec{A_1B} = \vec{0}$.
Ответ: $\vec{0}$ (нулевой вектор, например $\vec{AA}$).

в)

$\vec{AB} - \vec{D_1A}$: Вычитание вектора $\vec{D_1A}$ эквивалентно прибавлению противоположного вектора $\vec{AD_1}$. Получаем $\vec{AB} + \vec{AD_1}$. Заменим вектор $\vec{AD_1}$ на равный ему вектор $\vec{BC_1}$ (диагональ грани $BCC_1B_1$). Получим $\vec{AB} + \vec{BC_1}$. По правилу треугольника, эта сумма равна $\vec{AC_1}$.
Ответ: $\vec{AC_1}$.

$\vec{BC} - \vec{AA_1}$: Заменим вектор $\vec{AA_1}$ на равный ему вектор $\vec{BB_1}$. Получаем $\vec{BC} - \vec{BB_1}$. По правилу вычитания векторов, исходящих из одной точки $B$, разность равна вектору, соединяющему конец вычитаемого вектора ($\vec{BB_1}$) с концом уменьшаемого вектора ($\vec{BC}$). Это вектор $\vec{B_1C}$.
Ответ: $\vec{B_1C}$.

$\vec{A_1B} + \vec{CC_1}$: Заменим вектор $\vec{CC_1}$ на равный ему вектор $\vec{BB_1}$. Получим сумму $\vec{A_1B} + \vec{BB_1}$. По правилу треугольника, эта сумма равна вектору $\vec{A_1B_1}$.
Ответ: $\vec{A_1B_1}$.

$\vec{DB} - \vec{DA_1}$: По правилу вычитания векторов, исходящих из одной точки $D$, разность равна вектору, соединяющему конец вычитаемого вектора ($\vec{DA_1}$) с концом уменьшаемого вектора ($\vec{DB}$). Это вектор $\vec{A_1B}$.
Ответ: $\vec{A_1B}$.

$\vec{D_1C} - \vec{AD}$: Заменим вектор $\vec{D_1C}$ на равный ему вектор $\vec{A_1B}$ (из пункта а). Заменим вектор $\vec{AD}$ на равный ему вектор $\vec{A_1D_1}$. Получим $\vec{A_1B} - \vec{A_1D_1}$. По правилу вычитания векторов, исходящих из одной точки $A_1$, разность равна вектору, соединяющему конец вычитаемого вектора ($\vec{A_1D_1}$) с концом уменьшаемого вектора ($\vec{A_1B}$). Это вектор $\vec{D_1B}$.
Ответ: $\vec{D_1B}$.