Номер 394, страница 151 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

394. Диагонали куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ (рис. 358) пересекаются в точке $O$. Найдите число $k$, учитывая, что истинно равенство:

а) $\vec{AB} = k \cdot \vec{CD}$;

б) $\vec{C_1O} = k \cdot \vec{AC_1}$;

в) $\vec{D_1B} = k \cdot \vec{BO}$.

Рис. 358

а) $\vec{AB} = k \cdot \vec{CD}$

В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ грань $ABCD$ является квадратом. В квадрате противоположные стороны параллельны и равны. Следовательно, векторы $\vec{AB}$ и $\vec{DC}$ коллинеарны, сонаправлены и равны по модулю. То есть, $\vec{AB} = \vec{DC}$.

Векторы $\vec{CD}$ и $\vec{DC}$ коллинеарны, равны по модулю, но противоположно направлены. Это означает, что $\vec{DC} = -\vec{CD}$.

Подставим это в первое равенство: $\vec{AB} = -\vec{CD}$.

Сравнивая полученное равенство $\vec{AB} = -1 \cdot \vec{CD}$ с исходным уравнением $\vec{AB} = k \cdot \vec{CD}$, находим значение $k$.

Ответ: $k = -1$.

б) $\vec{C_1O} = k \cdot \vec{AC_1}$

Точка $O$ является точкой пересечения диагоналей куба и делит каждую диагональ пополам. Следовательно, точка $O$ — середина диагонали $AC_1$.

Векторы $\vec{C_1O}$ и $\vec{AC_1}$ лежат на одной прямой (коллинеарны). Вектор $\vec{AC_1}$ направлен от точки $A$ к точке $C_1$. Вектор $\vec{C_1O}$ направлен от точки $C_1$ к точке $O$, то есть в сторону точки $A$. Таким образом, векторы $\vec{C_1O}$ и $\vec{AC_1}$ противоположно направлены, а значит, коэффициент $k$ будет отрицательным.

Так как $O$ — середина $AC_1$, длина отрезка $C_1O$ равна половине длины отрезка $AC_1$. То есть, $|\vec{C_1O}| = \frac{1}{2} |\vec{AC_1}|$.

Учитывая противоположное направление векторов, получаем: $\vec{C_1O} = -\frac{1}{2} \vec{AC_1}$.

Сравнивая это с исходным равенством $\vec{C_1O} = k \cdot \vec{AC_1}$, находим $k$.

Ответ: $k = -\frac{1}{2}$.

в) $\vec{D_1B} = k \cdot \vec{BO}$

Точка $O$ является серединой диагонали $D_1B$. Векторы $\vec{D_1B}$ и $\vec{BO}$ лежат на одной прямой (коллинеарны).

Вектор $\vec{D_1B}$ направлен от точки $D_1$ к точке $B$. Вектор $\vec{BO}$ направлен от точки $B$ к точке $O$, то есть в сторону точки $D_1$. Следовательно, векторы $\vec{D_1B}$ и $\vec{BO}$ противоположно направлены. Это означает, что коэффициент $k$ должен быть отрицательным.

Поскольку $O$ — середина $D_1B$, длина отрезка $D_1B$ в два раза больше длины отрезка $BO$. То есть, $|\vec{D_1B}| = 2 |\vec{BO}|$.

Из равенства $\vec{D_1B} = k \cdot \vec{BO}$ следует, что $|\vec{D_1B}| = |k| \cdot |\vec{BO}|$. Подставив соотношение длин, получаем $2 |\vec{BO}| = |k| \cdot |\vec{BO}|$, откуда $|k|=2$.

Так как векторы направлены противоположно, $k$ отрицателен.

Ответ: $k = -2$.