Номер 400, страница 152 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

400. На кронштейне, который состоит из подкоса $AB$ и растяжки $CB$, подвешен груз. Кронштейн прикреплён к вертикальной стене $AC$, подкос занимает горизонтальное положение (рис. 359). Найдите силы, действующие на подкос и растяжку, если угол между ними равен $\beta$, а масса груза равна $P$.

Рис. 359

Для определения сил, действующих на подкос и растяжку, рассмотрим условия равновесия точки B. В этой точке приложены три силы:

• Сила тяжести груза $\vec{P}$, направленная вертикально вниз. По условию, ее величина равна $P$.
• Сила натяжения растяжки $\vec{T}_{CB}$, направленная вдоль стержня CB. Обозначим ее величину $F_{CB}$.
• Сила сжатия подкоса $\vec{N}_{AB}$, направленная вдоль стержня AB. Обозначим ее величину $F_{AB}$. Подкос работает на сжатие, поэтому сила $\vec{N}_{AB}$ направлена от точки B к точке A.

Так как система находится в равновесии, векторная сумма этих трех сил равна нулю:

$\vec{P} + \vec{T}_{CB} + \vec{N}_{AB} = 0$

Для решения задачи выберем систему координат с началом в точке B, осью Ox, направленной горизонтально влево (вдоль подкоса AB), и осью Oy, направленной вертикально вверх.

Теперь запишем уравнения равновесия в проекциях на эти оси.

Угол между растяжкой CB и подкосом AB (отрицательным направлением оси Ox) по условию равен $\beta$. Следовательно, вектор силы натяжения $\vec{T}_{CB}$ составляет с осью Ox угол $\beta$. Проекции сил на оси координат:

• $\vec{P}$: $P_x = 0$, $P_y = -P$
• $\vec{N}_{AB}$: $N_{ABx} = F_{AB}$, $N_{ABy} = 0$
• $\vec{T}_{CB}$: $T_{CBx} = F_{CB} \cos\beta$, $T_{CBy} = F_{CB} \sin\beta$

Запишем уравнения равновесия:

Сумма проекций на ось Oy:

$\sum F_y = F_{CB} \sin\beta - P = 0$

Из этого уравнения находим силу, действующую на растяжку CB:

$F_{CB} = \frac{P}{\sin\beta}$

Сумма проекций на ось Ox:

$\sum F_x = F_{AB} + F_{CB} \cos\beta = 0$

Отсюда выражаем силу, действующую на подкос AB:

$F_{AB} = -F_{CB} \cos\beta$

Подставляем найденное выражение для $F_{CB}$:

$F_{AB} = -\left(\frac{P}{\sin\beta}\right) \cos\beta = -P \frac{\cos\beta}{\sin\beta} = -P \cot\beta$

Из рисунка видно, что угол $\beta$ является тупым ($90^\circ < \beta < 180^\circ$). Для таких углов $\sin\beta > 0$ и $\cot\beta < 0$. Следовательно, полученные выражения для величин сил $F_{CB}$ и $F_{AB}$ являются положительными, что физически корректно.

Ответ: сила, действующая на растяжку CB, равна $ \frac{P}{\sin\beta} $, а сила, действующая на подкос AB, равна $ -P\cot\beta $.