Номер 397, страница 151 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

397. Известно, что точки A, B, C и D не лежат на одной прямой и $ \vec{AB} = k \vec{CD} $. Могут ли прямые AC и BD быть скрещивающимися?

При каком значении k прямые AC и BD:

а) параллельны;

б) пересекаются?

Векторное равенство $\vec{AB} = k \cdot \vec{CD}$ означает, что векторы $\vec{AB}$ и $\vec{CD}$ коллинеарны. Это, в свою очередь, означает, что прямая $AB$ параллельна прямой $CD$ (или они совпадают).

По условию задачи, точки $A$, $B$, $C$ и $D$ не лежат на одной прямой. Если бы прямые $AB$ и $CD$ совпадали, то все четыре точки лежали бы на одной прямой, что противоречит условию. Следовательно, прямые $AB$ и $CD$ являются параллельными и несовпадающими.

Две параллельные прямые однозначно задают плоскость, в которой они обе лежат. Пусть эта плоскость будет $\pi$. Так как точка $A$ и $B$ лежат на прямой $AB$, а точки $C$ и $D$ — на прямой $CD$, то все четыре точки $A$, $B$, $C$, $D$ принадлежат этой плоскости $\pi$.

Прямая $AC$ проходит через точки $A$ и $C$, которые лежат в плоскости $\pi$. Следовательно, вся прямая $AC$ лежит в плоскости $\pi$. Аналогично, прямая $BD$ проходит через точки $B$ и $D$, которые также лежат в плоскости $\pi$, а значит, и вся прямая $BD$ лежит в этой же плоскости.

Таким образом, прямые $AC$ и $BD$ являются компланарными (лежат в одной плоскости). Скрещивающиеся прямые по определению не лежат в одной плоскости. Следовательно, прямые $AC$ и $BD$ не могут быть скрещивающимися.

Ответ: Нет, не могут.

Для ответа на вторую часть вопроса рассмотрим векторы $\vec{AC}$ и $\vec{BD}$. Для анализа их взаимного расположения выразим их через два неколлинеарных вектора, исходящих из одной точки, например, из точки $A$. Обозначим $\vec{AC} = \vec{u}$ и $\vec{AD} = \vec{v}$.

Из условия $\vec{AB} = k \cdot \vec{CD}$ выразим вектор $\vec{AB}$. Вектор $\vec{CD}$ можно представить как разность векторов $\vec{AD}$ и $\vec{AC}$: $\vec{CD} = \vec{AD} - \vec{AC} = \vec{v} - \vec{u}$. Тогда $\vec{AB} = k(\vec{v} - \vec{u})$.

Теперь выразим вектор $\vec{BD}$ через $\vec{u}$ и $\vec{v}$:$\vec{BD} = \vec{AD} - \vec{AB} = \vec{v} - k(\vec{v} - \vec{u}) = \vec{v} - k\vec{v} + k\vec{u} = k\vec{u} + (1-k)\vec{v}$.

Таким образом, мы имеем выражения для векторов, определяющих прямые $AC$ и $BD$:Направляющий вектор прямой $AC$ — это $\vec{AC} = \vec{u}$. Направляющий вектор прямой $BD$ — это $\vec{BD} = k\vec{u} + (1-k)\vec{v}$.

Поскольку точки $A, B, C, D$ не лежат на одной прямой, то и точки $A, C, D$ не могут лежать на одной прямой (иначе, из-за параллельности $AB$ и $CD$, точка $B$ тоже оказалась бы на этой прямой). Следовательно, векторы $\vec{u} = \vec{AC}$ и $\vec{v} = \vec{AD}$ не коллинеарны.

а) параллельны;

Прямые $AC$ и $BD$ параллельны тогда и только тогда, когда их направляющие векторы $\vec{AC}$ и $\vec{BD}$ коллинеарны. То есть, должен существовать такой скаляр $\lambda \neq 0$, что $\vec{BD} = \lambda \vec{AC}$.

Подставим наши выражения для векторов:$k\vec{u} + (1-k)\vec{v} = \lambda\vec{u}$.

Перенесем все члены в одну сторону:$(k-\lambda)\vec{u} + (1-k)\vec{v} = \vec{0}$.

Так как векторы $\vec{u}$ и $\vec{v}$ не коллинеарны (линейно независимы), это равенство возможно только в том случае, если коэффициенты при них равны нулю:$\begin{cases} k-\lambda = 0 \\ 1-k = 0 \end{cases}$

Из второго уравнения системы находим $k=1$. Подставив в первое, получаем $\lambda = k = 1$. Таким образом, прямые $AC$ и $BD$ параллельны только при $k=1$. В этом случае $\vec{AC} = \vec{BD}$, что соответствует параллелограмму $ACDB$.

Ответ: при $k = 1$.

б) пересекаются?

Как было установлено, прямые $AC$ и $BD$ лежат в одной плоскости. Две прямые в одной плоскости либо параллельны, либо пересекаются (случай совпадения исключен, так как это означало бы, что все 4 точки лежат на одной прямой).

Из пункта а) мы знаем, что прямые $AC$ и $BD$ параллельны тогда и только тогда, когда $k=1$. Следовательно, во всех остальных случаях, когда $k \neq 1$, прямые $AC$ и $BD$ не будут параллельны, а значит, будут пересекаться. Это включает случай $k=0$, при котором $\vec{AB} = \vec{0}$, то есть точки $A$ и $B$ совпадают. Прямые $AC$ и $BD$ становятся прямыми $AC$ и $AD$, которые пересекаются в точке $A$.

Ответ: при $k \neq 1$.