Номер 398, страница 151 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

398. В пространстве выбраны точки A и B. Докажите, что для любых точек P и Q векторы $k \cdot \overline{PA} + (1-k) \cdot \overline{PB}$ и $\overline{PQ} + k \cdot \overline{QA} + (1-k) \cdot \overline{QB}$ совпадают.

Для доказательства того, что векторы $k \cdot \overline{PA} + (1-k) \cdot \overline{PB}$ и $\overline{PQ} + k \cdot \overline{QA} + (1-k) \cdot \overline{QB}$ совпадают для любых точек $P$ и $Q$ и любого числа $k$, мы преобразуем второе векторное выражение и покажем, что оно равно первому.

Обозначим второй вектор как $\vec{v}$: $ \vec{v} = \overline{PQ} + k \cdot \overline{QA} + (1-k) \cdot \overline{QB} $

Используем правило треугольника для сложения векторов, чтобы выразить векторы $\overline{QA}$ и $\overline{QB}$ через векторы с общим началом в точке $P$: $ \overline{QA} = \overline{QP} + \overline{PA} $
$ \overline{QB} = \overline{QP} + \overline{PB} $

Подставим эти выражения в формулу для вектора $\vec{v}$: $ \vec{v} = \overline{PQ} + k \cdot (\overline{QP} + \overline{PA}) + (1-k) \cdot (\overline{QP} + \overline{PB}) $

Вектор $\overline{QP}$ является противоположным вектору $\overline{PQ}$, то есть $\overline{QP} = -\overline{PQ}$. Заменим $\overline{QP}$ в полученном выражении: $ \vec{v} = \overline{PQ} + k \cdot (-\overline{PQ} + \overline{PA}) + (1-k) \cdot (-\overline{PQ} + \overline{PB}) $

Раскроем скобки: $ \vec{v} = \overline{PQ} - k \cdot \overline{PQ} + k \cdot \overline{PA} - (1-k) \cdot \overline{PQ} + (1-k) \cdot \overline{PB} $

Сгруппируем слагаемые, содержащие вектор $\overline{PQ}$: $ \vec{v} = (1 - k - (1-k)) \cdot \overline{PQ} + k \cdot \overline{PA} + (1-k) \cdot \overline{PB} $

Упростим коэффициент при векторе $\overline{PQ}$: $ 1 - k - (1-k) = 1 - k - 1 + k = 0 $

Таким образом, слагаемое с вектором $\overline{PQ}$ обращается в нуль, и выражение для $\vec{v}$ принимает вид: $ \vec{v} = 0 \cdot \overline{PQ} + k \cdot \overline{PA} + (1-k) \cdot \overline{PB} = k \cdot \overline{PA} + (1-k) \cdot \overline{PB} $

Мы получили, что второе выражение в точности равно первому. Следовательно, равенство векторов доказано.
Ответ: Утверждение доказано. Векторы $k \cdot \overline{PA} + (1-k) \cdot \overline{PB}$ и $\overline{PQ} + k \cdot \overline{QA} + (1-k) \cdot \overline{QB}$ равны.