Номер 403, страница 152 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

403. К горизонтальной поверхности прикреплён шнур длиной 5 м, который выдерживает нагрузку в 0,2 т. Определите, выдержит ли шнур груз массой 0,05 т, который прикреплён к его середине (рис. 362), если расстояние $AB$ между точками крепления равно 4,8 м.

Рис. 362

Для того чтобы определить, выдержит ли шнур груз, необходимо рассчитать силу натяжения $T$, возникающую в шнуре под действием груза, и сравнить ее с максимальной допустимой силой натяжения $T_{max}$.

По условию, общая длина шнура $L = 5$ м. Груз прикреплен к его середине, в точке $C$. Точки крепления шнура $A$ и $B$ находятся на расстоянии $AB = 4,8$ м. Таким образом, шнур образует равнобедренный треугольник $ACB$, в котором боковые стороны равны $AC = CB = L/2 = 5/2 = 2,5$ м.

Проведем высоту $h$ из точки $C$ к основанию $AB$. В равнобедренном треугольнике высота является также и медианой, поэтому она делит основание $AB$ на два равных отрезка длиной $4,8 / 2 = 2,4$ м. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой $h$, половиной основания и половиной шнура. По теореме Пифагора найдем высоту $h$:

$h = \sqrt{AC^2 - (AB/2)^2} = \sqrt{(2,5)^2 - (2,4)^2} = \sqrt{6,25 - 5,76} = \sqrt{0,49} = 0,7 \text{ м.}$

Сила тяжести груза $P$, действующая на шнур в точке $C$, равна $P = m \cdot g$, где $m = 0,05$ т $= 50$ кг, а $g$ — ускорение свободного падения. Эта сила уравновешивается силами натяжения $T$ в каждой из двух половин шнура. Для равновесия системы сумма вертикальных проекций сил натяжения должна быть равна силе тяжести:

$2 \cdot T_y = P$

где $T_y$ — вертикальная составляющая силы натяжения. Если $\alpha$ — это угол между шнуром и вертикалью, то $T_y = T \cdot \cos{\alpha}$. Условие равновесия примет вид:

$2T \cos{\alpha} = mg$

Из геометрии рассмотренного ранее прямоугольного треугольника, косинус угла $\alpha$ равен отношению прилежащего катета (высоты $h$) к гипотенузе (длине половины шнура $AC$):

$\cos{\alpha} = \frac{h}{AC} = \frac{0,7 \text{ м}}{2,5 \text{ м}} = 0,28$

Теперь найдем силу натяжения $T$:

$T = \frac{mg}{2 \cos{\alpha}} = \frac{50 \cdot g}{2 \cdot 0,28} = \frac{50g}{0,56} \approx 89,3g \text{ Н.}$

Эта сила натяжения создается нагрузкой, эквивалентной массе $m_T \approx 89,3$ кг.

Максимальная нагрузка, которую выдерживает шнур, соответствует массе $m_{max} = 0,2$ т $= 200$ кг.

Сравним фактическую нагрузку с максимальной:

$89,3 \text{ кг} < 200 \text{ кг}$

Поскольку сила натяжения в шнуре меньше максимально допустимой, шнур выдержит данный груз.

Ответ: да, шнур выдержит груз.