Номер 410, страница 153 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

410. Есть треугольная пирамида $ABCD$. Найдите все такие точки $M$ пространства, что $\vec{MA} + \vec{MB} + \vec{MC} + \vec{MD} = \vec{0}$.

Для решения данной задачи введем в пространстве произвольную точку O, которую примем за начало отсчета. Тогда положение любой точки X в пространстве можно задать ее радиус-вектором $\vec{OX}$.

Используя правило вычитания векторов, можно выразить любой вектор $\vec{XY}$ через радиус-векторы его начала и конца: $\vec{XY} = \vec{OY} - \vec{OX}$. Применим это правило к векторам из условия задачи:
$\vec{MA} = \vec{OA} - \vec{OM}$
$\vec{MB} = \vec{OB} - \vec{OM}$
$\vec{MC} = \vec{OC} - \vec{OM}$
$\vec{MD} = \vec{OD} - \vec{OM}$

Теперь подставим эти выражения в исходное векторное равенство:
$\vec{MA} + \vec{MB} + \vec{MC} + \vec{MD} = \vec{0}$
$(\vec{OA} - \vec{OM}) + (\vec{OB} - \vec{OM}) + (\vec{OC} - \vec{OM}) + (\vec{OD} - \vec{OM}) = \vec{0}$

Сгруппируем слагаемые, чтобы выделить вектор $\vec{OM}$:
$\vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC} + \vec{OD} - 4\vec{OM} = \vec{0}$

Перенесем слагаемое с $\vec{OM}$ в правую часть и выразим этот вектор:
$4\vec{OM} = \vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC} + \vec{OD}$
$\vec{OM} = \frac{\vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC} + \vec{OD}}{4}$

Полученное уравнение однозначно определяет радиус-вектор точки M, а значит, и саму точку M. Поскольку выбор начала отсчета O был произвольным, положение точки M не зависит от этого выбора, а определяется только положением вершин пирамиды A, B, C, D. Следовательно, такая точка M существует и она единственна.

Точка, радиус-вектор которой определяется такой формулой, называется барицентром или центроидом системы точек A, B, C, D. В случае тетраэдра (треугольной пирамиды) эта точка является центром масс и точкой пересечения его медиан. Напомним, что медианой тетраэдра называется отрезок, соединяющий вершину тетраэдра с центроидом (точкой пересечения медиан) противоположной грани. Все четыре медианы тетраэдра пересекаются в одной точке — его центроиде — и делятся этой точкой в отношении 3:1, считая от вершины.

Таким образом, искомая точка M — это центроид тетраэдра ABCD.

Ответ: Существует только одна такая точка M — это центроид (центр масс) тетраэдра ABCD, который является точкой пересечения его медиан.