Номер 413, страница 153 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

413. В грани $ABC$ треугольной пирамиды $ABCD$ проведена медиана $AM$. Выразите вектор $\vec{DK}$ через векторы $\vec{DA}$, $\vec{DB}$ и $\vec{DC}$, учитывая, что $K$ — такая точка медианы $AM$, что $AK : KM = 3 : 2$.

Для решения задачи выберем точку $D$ в качестве начала отсчета. Тогда искомый вектор $\overline{DK}$ можно выразить через векторы $\overline{DA}$, $\overline{DB}$ и $\overline{DC}$.

1. Выражение вектора $\overline{DK}$ через векторы с началом в точке D

Воспользуемся правилом сложения векторов для ломаной $DAK$. Вектор $\overline{DK}$ можно представить как сумму векторов $\overline{DA}$ и $\overline{AK}$:

$\overline{DK} = \overline{DA} + \overline{AK}$

Согласно условию, точка $K$ лежит на медиане $AM$ и делит её в отношении $AK : KM = 3 : 2$. Это означает, что длина отрезка $AK$ составляет $\frac{3}{3+2} = \frac{3}{5}$ от длины всей медианы $AM$. Поскольку векторы $\overline{AK}$ и $\overline{AM}$ сонаправлены (имеют одинаковое направление), мы можем записать векторное равенство:

$\overline{AK} = \frac{3}{5}\overline{AM}$

Теперь подставим это выражение в нашу первую формулу:

$\overline{DK} = \overline{DA} + \frac{3}{5}\overline{AM}$

2. Выражение вектора $\overline{AM}$ через векторы, отложенные от точки D

Вектор $\overline{AM}$ можно выразить через векторы с общим началом в точке $D$ по правилу разности векторов:

$\overline{AM} = \overline{DM} - \overline{DA}$

Подставим это выражение для $\overline{AM}$ в формулу для $\overline{DK}$:

$\overline{DK} = \overline{DA} + \frac{3}{5}(\overline{DM} - \overline{DA})$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$\overline{DK} = \overline{DA} + \frac{3}{5}\overline{DM} - \frac{3}{5}\overline{DA} = (1 - \frac{3}{5})\overline{DA} + \frac{3}{5}\overline{DM} = \frac{2}{5}\overline{DA} + \frac{3}{5}\overline{DM}$

3. Выражение вектора $\overline{DM}$ через $\overline{DB}$ и $\overline{DC}$

По условию, $AM$ — медиана грани $ABC$, что означает, что точка $M$ является серединой стороны $BC$. Вектор, проведенный из вершины $D$ в середину отрезка $BC$, равен полусумме векторов, проведенных из $D$ в концы этого отрезка ($B$ и $C$). Это известная формула для вектора медианы:

$\overline{DM} = \frac{1}{2}(\overline{DB} + \overline{DC})$

4. Финальная подстановка и упрощение

Подставим найденное выражение для $\overline{DM}$ в нашу формулу для $\overline{DK}$:

$\overline{DK} = \frac{2}{5}\overline{DA} + \frac{3}{5}\overline{DM} = \frac{2}{5}\overline{DA} + \frac{3}{5} \left( \frac{1}{2}(\overline{DB} + \overline{DC}) \right)$

Упростим полученное выражение, перемножив коэффициенты:

$\overline{DK} = \frac{2}{5}\overline{DA} + \frac{3}{10}(\overline{DB} + \overline{DC})$

$\overline{DK} = \frac{2}{5}\overline{DA} + \frac{3}{10}\overline{DB} + \frac{3}{10}\overline{DC}$

Это и есть искомое выражение вектора $\overline{DK}$ через заданные векторы.

Ответ: $\overline{DK} = \frac{2}{5}\overline{DA} + \frac{3}{10}\overline{DB} + \frac{3}{10}\overline{DC}$