Номер 412, страница 153 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

412. Середины рёбер $AB$ и $CD$ треугольной пирамиды $ABCD$ — точки $P$ и $Q$ соответственно. Докажите, что $2 \cdot \vec{PQ} = \vec{AC} + \vec{BD}$. Компланарны ли векторы $\vec{AC}$, $\vec{BD}$ и $\vec{PQ}$?

Докажите, что $2 \cdot \vec{PQ} = \vec{AC} + \vec{BD}$

Для доказательства данного векторного равенства воспользуемся правилом многоугольника (или правилом замкнутого контура) для сложения векторов. Выразим вектор $\vec{PQ}$ двумя различными путями, проходя по рёбрам и диагоналям пирамиды.

1. Первый путь: из точки P в точку Q через вершины A и C.
$\vec{PQ} = \vec{PA} + \vec{AC} + \vec{CQ}$

2. Второй путь: из точки P в точку Q через вершины B и D.
$\vec{PQ} = \vec{PB} + \vec{BD} + \vec{DQ}$

Теперь сложим эти два векторных равенства:
$\vec{PQ} + \vec{PQ} = (\vec{PA} + \vec{AC} + \vec{CQ}) + (\vec{PB} + \vec{BD} + \vec{DQ})$
$2\vec{PQ} = \vec{PA} + \vec{PB} + \vec{AC} + \vec{BD} + \vec{CQ} + \vec{DQ}$
Сгруппируем слагаемые:
$2\vec{PQ} = (\vec{PA} + \vec{PB}) + (\vec{AC} + \vec{BD}) + (\vec{CQ} + \vec{DQ})$

Рассмотрим суммы векторов в скобках.
По условию, точка P — середина ребра AB. Это означает, что векторы $\vec{PA}$ и $\vec{PB}$ равны по длине и противоположны по направлению. Следовательно, их сумма равна нулевому вектору:
$\vec{PA} + \vec{PB} = \vec{0}$

Аналогично, точка Q — середина ребра CD. Векторы $\vec{CQ}$ и $\vec{DQ}$ — это векторы, идущие от концов отрезка CD к его середине Q. Вектор $\vec{CQ}$ составляет половину вектора $\vec{CD}$, то есть $\vec{CQ} = \frac{1}{2}\vec{CD}$. Вектор $\vec{DQ}$ противоположен по направлению вектору $\vec{CD}$ и равен ему по половине длины, то есть $\vec{DQ} = -\frac{1}{2}\vec{CD}$. Таким образом, их сумма также равна нулевому вектору:
$\vec{CQ} + \vec{DQ} = \frac{1}{2}\vec{CD} + (-\frac{1}{2}\vec{CD}) = \vec{0}$

Подставим полученные нулевые векторы в сгруппированное уравнение:
$2\vec{PQ} = \vec{0} + (\vec{AC} + \vec{BD}) + \vec{0}$
$2\vec{PQ} = \vec{AC} + \vec{BD}$
Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство $2 \cdot \vec{PQ} = \vec{AC} + \vec{BD}$ доказано.

Компланарны ли векторы $\vec{AC}, \vec{BD}$ и $\vec{PQ}$?

Три вектора называются компланарными, если они параллельны одной плоскости. По определению, три вектора $\vec{a}$, $\vec{b}$ и $\vec{c}$ компланарны, если один из них можно представить в виде линейной комбинации двух других, то есть $\vec{c} = k_1\vec{a} + k_2\vec{b}$ для некоторых чисел $k_1$ и $k_2$ (при условии, что векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ не коллинеарны).

Из равенства, доказанного в предыдущем пункте, $2\vec{PQ} = \vec{AC} + \vec{BD}$, мы можем выразить вектор $\vec{PQ}$:
$\vec{PQ} = \frac{1}{2}(\vec{AC} + \vec{BD})$
$\vec{PQ} = \frac{1}{2}\vec{AC} + \frac{1}{2}\vec{BD}$

Это равенство показывает, что вектор $\vec{PQ}$ является линейной комбинацией векторов $\vec{AC}$ и $\vec{BD}$ с коэффициентами $k_1 = \frac{1}{2}$ и $k_2 = \frac{1}{2}$.
Следовательно, по определению, векторы $\vec{PQ}$, $\vec{AC}$ и $\vec{BD}$ являются компланарными. Геометрически это означает, что вектор $\vec{PQ}$ лежит в плоскости, параллельной плоскости, в которой лежат векторы $\vec{AC}$ и $\vec{BD}$ (если их отложить от одной точки).

Ответ: Да, векторы компланарны.