Номер 406, страница 153 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

406. Известно, что векторы $ \vec{a} $ и $ \vec{c} $, а также $ \vec{b} $ и $ \vec{c} $ коллинеарны. Можно ли утверждать, что векторы $ \vec{a}, \vec{b}, \vec{c} $ коллинеарны? Докажите, что коллинеарны векторы:

а) $ \vec{a}+\vec{b} $ и $ \vec{c} $;

б) $ \vec{a}-\vec{b} $ и $ \vec{c} $;

в) $ \vec{a}+2\vec{b} $ и $ \vec{c} $;

г) $ -\vec{a}+2\vec{b} $ и $ \vec{c} $.

Сначала ответим на вопрос: «Можно ли утверждать, что векторы $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ коллинеарны?».

Нет, в общем случае утверждать это нельзя.

Доказательство: Два вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. По определению, нулевой вектор ($\vec{0}$) коллинеарен любому вектору.

Рассмотрим случай, когда вектор $\vec{c} = \vec{0}$. По условию, вектор $\vec{a}$ коллинеарен $\vec{c}$ (то есть $\vec{0}$), и вектор $\vec{b}$ коллинеарен $\vec{c}$ (то есть $\vec{0}$). Поскольку любой вектор коллинеарен нулевому, векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ могут быть любыми. Мы можем выбрать $\vec{a}$ и $\vec{b}$ так, чтобы они не были коллинеарны друг другу (например, направлены вдоль осей Ox и Oy соответственно). В этом случае условие задачи выполняется, но тройка векторов $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ не является коллинеарной, так как $\vec{a}$ и $\vec{b}$ не коллинеарны.

Таким образом, из-за возможности $\vec{c} = \vec{0}$, нельзя однозначно утверждать, что все три вектора коллинеарны.

Однако, если известно, что $\vec{c} \neq \vec{0}$, то из коллинеарности $\vec{a}$ с $\vec{c}$ и $\vec{b}$ с $\vec{c}$ следует, что векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ параллельны одной и той же прямой (на которой лежит $\vec{c}$), а значит, они параллельны друг другу. В этом случае все три вектора коллинеарны.

Теперь докажем, что указанные в подпунктах векторы коллинеарны.

Из условия, что векторы $\vec{a}$ и $\vec{c}$ коллинеарны, следует, что существует такое число $k_1$, что $\vec{a} = k_1\vec{c}$. Аналогично, из коллинеарности векторов $\vec{b}$ и $\vec{c}$ следует, что существует такое число $k_2$, что $\vec{b} = k_2\vec{c}$.

а) $\vec{a} + \vec{b}$ и $\vec{c}$
Выразим сумму векторов $\vec{a} + \vec{b}$ через вектор $\vec{c}$: $\vec{a} + \vec{b} = k_1\vec{c} + k_2\vec{c} = (k_1 + k_2)\vec{c}$. Пусть $k = k_1 + k_2$. Тогда мы имеем $\vec{a} + \vec{b} = k\vec{c}$. Это равенство по определению означает, что вектор $\vec{a} + \vec{b}$ коллинеарен вектору $\vec{c}$.
Ответ: векторы коллинеарны.

б) $\vec{a} - \vec{b}$ и $\vec{c}$
Выразим разность векторов $\vec{a} - \vec{b}$ через вектор $\vec{c}$: $\vec{a} - \vec{b} = k_1\vec{c} - k_2\vec{c} = (k_1 - k_2)\vec{c}$. Пусть $k = k_1 - k_2$. Тогда мы имеем $\vec{a} - \vec{b} = k\vec{c}$. Это означает, что вектор $\vec{a} - \vec{b}$ коллинеарен вектору $\vec{c}$.
Ответ: векторы коллинеарны.

в) $\vec{a} + 2\vec{b}$ и $\vec{c}$
Выразим линейную комбинацию векторов $\vec{a} + 2\vec{b}$ через вектор $\vec{c}$: $\vec{a} + 2\vec{b} = k_1\vec{c} + 2(k_2\vec{c}) = k_1\vec{c} + 2k_2\vec{c} = (k_1 + 2k_2)\vec{c}$. Пусть $k = k_1 + 2k_2$. Тогда мы имеем $\vec{a} + 2\vec{b} = k\vec{c}$. Это означает, что вектор $\vec{a} + 2\vec{b}$ коллинеарен вектору $\vec{c}$.
Ответ: векторы коллинеарны.

г) $-\vec{a} + 2\vec{b}$ и $\vec{c}$
Выразим линейную комбинацию векторов $-\vec{a} + 2\vec{b}$ через вектор $\vec{c}$: $-\vec{a} + 2\vec{b} = -(k_1\vec{c}) + 2(k_2\vec{c}) = -k_1\vec{c} + 2k_2\vec{c} = (-k_1 + 2k_2)\vec{c}$. Пусть $k = -k_1 + 2k_2$. Тогда мы имеем $-\vec{a} + 2\vec{b} = k\vec{c}$. Это означает, что вектор $-\vec{a} + 2\vec{b}$ коллинеарен вектору $\vec{c}$.
Ответ: векторы коллинеарны.