Номер 404, страница 152 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

404. Среди векторов $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$ есть неколлинеарные. Докажите, что если $\vec{m}=\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}$, то $|\vec{m}|<|\vec{a}|+|\vec{b}|+|\vec{c}|$.

Для доказательства воспользуемся правилом сложения векторов, известным как обобщенное неравенство треугольника.

Для любых трех векторов $\vec{a}$, $\vec{b}$ и $\vec{c}$ справедливо неравенство: $|\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}| \le |\vec{a}| + |\vec{b}| + |\vec{c}|$.

Это можно показать, последовательно применяя неравенство треугольника для двух векторов ($|\vec{x} + \vec{y}| \le |\vec{x}| + |\vec{y}| $): $|\vec{m}| = |(\vec{a} + \vec{b}) + \vec{c}| \le |\vec{a} + \vec{b}| + |\vec{c}|$. Так как $|\vec{a} + \vec{b}| \le |\vec{a}| + |\vec{b}|$, то подставив это в предыдущее выражение, получаем: $|\vec{m}| \le |\vec{a}| + |\vec{b}| + |\vec{c}|$.

Равенство в этом неравенстве, то есть $|\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}| = |\vec{a}| + |\vec{b}| + |\vec{c}|$, выполняется только в том случае, когда все три вектора $\vec{a}$, $\vec{b}$ и $\vec{c}$ коллинеарны и сонаправлены (т.е. лежат на одной прямой или параллельных прямых и направлены в одну сторону).

В условии задачи сказано, что среди векторов $\vec{a}$, $\vec{b}$ и $\vec{c}$ есть неколлинеарные. Это значит, что не все три вектора коллинеарны. Следовательно, условие для достижения равенства не выполняется.

Поскольку условие равенства не выполнено, неравенство должно быть строгим. Таким образом, для вектора $\vec{m} = \vec{a} + \vec{b} + \vec{c}$ получаем: $|\vec{m}| < |\vec{a}| + |\vec{b}| + |\vec{c}|$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Поскольку по условию не все векторы $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$ коллинеарны, то для их суммы $\vec{m} = \vec{a} + \vec{b} + \vec{c}$ обобщенное неравенство треугольника $|\vec{m}| \le |\vec{a}| + |\vec{b}| + |\vec{c}|$ становится строгим: $|\vec{m}| < |\vec{a}| + |\vec{b}| + |\vec{c}|$.