Номер 402, страница 152 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

402. Найдите силы, которые действуют на подкос и растяжку, прикреплённые к вертикальной стене (рис. 361), если подвешенный в точке C груз имеет массу $P$, $AB = 1.5 \text{ м}$, $AC = 3 \text{ м}$, $BC = 4 \text{ м}$.

Рис. 361

Для определения сил, действующих на подкос и растяжку, рассмотрим условия равновесия точки C. На эту точку действуют три силы:

• Сила тяжести груза $\vec{W}$, направленная вертикально вниз. Ее модуль равен $W = P \cdot g$, где $P$ — масса груза, а $g$ — ускорение свободного падения.
• Сила натяжения растяжки $\vec{T}_{AC}$, направленная вдоль стержня AC от точки C к точке A.
• Сила упругости (сжатия) подкоса $\vec{F}_{BC}$, направленная вдоль стержня BC от точки B к точке C (поскольку подкос сжат, он давит на точку C).

Поскольку система находится в статическом равновесии, векторная сумма этих трех сил равна нулю:

$\vec{W} + \vec{T}_{AC} + \vec{F}_{BC} = \vec{0}$

Для нахождения величин сил $T$ (натяжение) и $F$ (сжатие) используем метод проекций. Введем прямоугольную систему координат с началом в точке A, осью OY, направленной вверх вдоль стены, и осью OX, направленной горизонтально от стены.

В этой системе координат:

• Координаты точки A: $(0, 0)$
• Координаты точки B: $(0, -1.5)$
• Координаты точки C: $(x_C, y_C)$, где $x_C > 0$.
• Вектор силы тяжести: $\vec{W} = (0, -Pg)$

Запишем векторы сил $\vec{T}_{AC}$ и $\vec{F}_{BC}$ через их модули и координаты точек:

Вектор $\vec{T}_{AC}$ направлен от C к A. Его компоненты пропорциональны проекциям вектора $\vec{CA} = (0-x_C, 0-y_C) = (-x_C, -y_C)$:

$\vec{T}_{AC} = T \cdot \frac{\vec{CA}}{|\vec{CA}|} = T \cdot \frac{(-x_C, -y_C)}{AC} = T \cdot (\frac{-x_C}{3}, \frac{-y_C}{3})$

Вектор $\vec{F}_{BC}$ направлен от B к C. Его компоненты пропорциональны проекциям вектора $\vec{BC} = (x_C-0, y_C-(-1.5)) = (x_C, y_C+1.5)$:

$\vec{F}_{BC} = F \cdot \frac{\vec{BC}}{|\vec{BC}|} = F \cdot \frac{(x_C, y_C+1.5)}{BC} = F \cdot (\frac{x_C}{4}, \frac{y_C+1.5}{4})$

Запишем уравнение равновесия в проекциях на оси координат.

Проекция на ось OX:

$\sum F_x = 0 \implies T(\frac{-x_C}{3}) + F(\frac{x_C}{4}) + 0 = 0$

Поскольку $x_C \neq 0$, мы можем сократить уравнение на $x_C$:

$-\frac{T}{3} + \frac{F}{4} = 0 \implies \frac{F}{4} = \frac{T}{3} \implies F = \frac{4}{3}T$

Проекция на ось OY:

$\sum F_y = 0 \implies T(\frac{-y_C}{3}) + F(\frac{y_C+1.5}{4}) - Pg = 0$

Подставим в это уравнение найденное соотношение $F = \frac{4}{3}T$:

$T(\frac{-y_C}{3}) + (\frac{4}{3}T)(\frac{y_C+1.5}{4}) - Pg = 0$

$-\frac{T y_C}{3} + \frac{T (y_C+1.5)}{3} - Pg = 0$

Вынесем $\frac{T}{3}$ за скобки:

$\frac{T}{3}(-y_C + y_C + 1.5) - Pg = 0$

$\frac{T}{3}(1.5) - Pg = 0$

$\frac{T}{2} = Pg$

Отсюда находим силу натяжения $T$. Затем, используя найденное соотношение, вычисляем силу сжатия $F$.

Из полученного уравнения $\frac{T}{2} = Pg$ находим силу натяжения в растяжке AC:

$T = 2Pg$

Ответ: $2Pg$.

Используя соотношение $F = \frac{4}{3}T$ и найденное значение $T$, находим силу сжатия в подкосе BC:

$F = \frac{4}{3}(2Pg) = \frac{8}{3}Pg$

Ответ: $\frac{8}{3}Pg$.