Номер 396, страница 151 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

396. Упростите выражение:

а) $\vec{a} - 2(\vec{b}-\vec{a})+3(2\vec{b}-\vec{a});$

б) $-(\vec{p}+\vec{q})+5(\vec{r}-2\vec{p}+3\vec{q})-7(-\vec{p}+2\vec{q}+\vec{r}).$

а)

Для того чтобы упростить выражение $\vec{a} - 2(\vec{b} - \vec{a}) + 3(2\vec{b} - \vec{a})$, необходимо раскрыть скобки и привести подобные слагаемые.

1. Раскроем скобки, используя дистрибутивное свойство умножения (умножение скаляра на вектор):

$-2(\vec{b} - \vec{a}) = -2\vec{b} + (-2)(-\vec{a}) = -2\vec{b} + 2\vec{a}$

$3(2\vec{b} - \vec{a}) = 3(2\vec{b}) + 3(-\vec{a}) = 6\vec{b} - 3\vec{a}$

2. Подставим полученные выражения обратно в исходное:

$\vec{a} + (-2\vec{b} + 2\vec{a}) + (6\vec{b} - 3\vec{a})$

3. Уберем скобки и сгруппируем подобные слагаемые (слагаемые с одинаковыми векторами):

$\vec{a} - 2\vec{b} + 2\vec{a} + 6\vec{b} - 3\vec{a} = (\vec{a} + 2\vec{a} - 3\vec{a}) + (-2\vec{b} + 6\vec{b})$

4. Выполним действия с коэффициентами при одинаковых векторах:

$(1+2-3)\vec{a} + (-2+6)\vec{b} = 0\vec{a} + 4\vec{b} = 4\vec{b}$

Ответ: $4\vec{b}$

б)

Упростим выражение $-(\vec{p} + \vec{q}) + 5(\vec{r} - 2\vec{p} + 3\vec{q}) - 7(-\vec{p} + 2\vec{q} + \vec{r})$.

1. Аналогично предыдущему пункту, раскроем все скобки:

$-(\vec{p} + \vec{q}) = -\vec{p} - \vec{q}$

$5(\vec{r} - 2\vec{p} + 3\vec{q}) = 5\vec{r} - 5 \cdot 2\vec{p} + 5 \cdot 3\vec{q} = 5\vec{r} - 10\vec{p} + 15\vec{q}$

$-7(-\vec{p} + 2\vec{q} + \vec{r}) = (-7)(-\vec{p}) + (-7)(2\vec{q}) + (-7)\vec{r} = 7\vec{p} - 14\vec{q} - 7\vec{r}$

2. Запишем всё выражение целиком без скобок:

$-\vec{p} - \vec{q} + 5\vec{r} - 10\vec{p} + 15\vec{q} + 7\vec{p} - 14\vec{q} - 7\vec{r}$

3. Сгруппируем подобные слагаемые по векторам $\vec{p}$, $\vec{q}$ и $\vec{r}$:

$(-\vec{p} - 10\vec{p} + 7\vec{p}) + (-\vec{q} + 15\vec{q} - 14\vec{q}) + (5\vec{r} - 7\vec{r})$

4. Вычислим коэффициенты для каждого вектора:

$(-1 - 10 + 7)\vec{p} + (-1 + 15 - 14)\vec{q} + (5 - 7)\vec{r} = -4\vec{p} + 0\vec{q} - 2\vec{r}$

5. Упростим итоговое выражение:

$-4\vec{p} - 2\vec{r}$

Ответ: $-4\vec{p} - 2\vec{r}$