Номер 1, страница 149 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

1. Что собой представляет вектор? Какие векторы считаются равными?

Что собой представляет вектор?

Вектор — это направленный отрезок прямой, то есть отрезок, для которого указано, какая из его граничных точек является началом, а какая — концом. Вектор характеризуется двумя основными свойствами: направлением и длиной (или модулем).

Геометрически вектор изображается в виде стрелки. Точка, из которой выходит стрелка, называется началом вектора, а точка, к которой она приходит — концом вектора.

Векторы обозначаются либо двумя заглавными буквами со стрелкой наверху, например, $\vec{AB}$, где A — начало, а B — конец вектора, либо одной строчной латинской буквой со стрелкой, например, $\vec{a}$.

Длина (модуль) вектора $\vec{a}$ обозначается как $|\vec{a}|$. Длина вектора $\vec{AB}$ равна длине отрезка AB и обозначается как $|\vec{AB}|$.

Вектор, у которого начало и конец совпадают, называется нулевым вектором и обозначается как $\vec{0}$. Его длина равна нулю, а направление не определено.

В координатной форме вектор в трехмерном пространстве задается тройкой чисел — его координатами: $\vec{a} = (a_x; a_y; a_z)$. Координаты вектора $\vec{AB}$ с началом в точке $A(x_1; y_1; z_1)$ и концом в точке $B(x_2; y_2; z_2)$ вычисляются по формулам: $\vec{AB} = (x_2 - x_1; y_2 - y_1; z_2 - z_1)$.

Модуль вектора $\vec{a} = (a_x; a_y; a_z)$ вычисляется через его координаты по формуле: $|\vec{a}| = \sqrt{a_x^2 + a_y^2 + a_z^2}$.

Ответ: Вектор — это направленный отрезок, который характеризуется длиной (модулем) и направлением.

Какие векторы считаются равными?

Два вектора называются равными, если они удовлетворяют двум условиям: во-первых, их длины (модули) равны, и во-вторых, они сонаправлены.

Условие сонаправленности означает, что векторы лежат либо на одной прямой, либо на параллельных прямых и направлены в одну и ту же сторону. Такие векторы также называются коллинеарными и сонаправленными. Таким образом, для равенства двух ненулевых векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия: $|\vec{a}| = |\vec{b}|$ (равенство длин) и $\vec{a} \uparrow\uparrow \vec{b}$ (сонаправленность).

Важным следствием этого определения является то, что вектор не привязан к конкретной точке в пространстве. Его можно переносить параллельно самому себе в любую точку, и он останется тем же самым вектором. Например, если вектор $\vec{AB}$ перенести так, что его начало окажется в точке C, то его конец переместится в такую точку D, что $\vec{CD} = \vec{AB}$. При этом четырехугольник ABDC будет являться параллелограммом.

В координатной форме равенство векторов определяется очень просто. Два вектора $\vec{a} = (a_x; a_y; a_z)$ и $\vec{b} = (b_x; b_y; b_z)$ равны тогда и только тогда, когда равны их соответствующие координаты: $a_x = b_x$, $a_y = b_y$, $a_z = b_z$.

Ответ: Равными считаются векторы, которые имеют одинаковую длину и одинаковое направление (сонаправлены).