Номер 375, страница 140 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

375. Найдите расстояние от точки $A(3; -1; 4)$:

a) до начала системы координат;

б) до точки $M(-1; -4; -8)$;

в) до оси абсцисс;

г) до оси ординат;

д) до оси аппликат;

е) до плоскости $xOy$;

ж) до плоскости $xOz$;

з) до плоскости $yOz$.

а) до начала системы координат
Расстояние от точки $A(3; -1; 4)$ до начала координат, точки $O(0; 0; 0)$, вычисляется по формуле расстояния между двумя точками в пространстве: $d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2}$.
Подставляем координаты точек A и O:
$d = \sqrt{(0-3)^2 + (0-(-1))^2 + (0-4)^2} = \sqrt{(-3)^2 + 1^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 1 + 16} = \sqrt{26}$.
Ответ: $\sqrt{26}$.

б) до точки M(-1; -4; -8)
Используем формулу расстояния между двумя точками для $A(3; -1; 4)$ и $M(-1; -4; -8)$:
$d = \sqrt{(-1-3)^2 + (-4-(-1))^2 + (-8-4)^2} = \sqrt{(-4)^2 + (-3)^2 + (-12)^2} = \sqrt{16 + 9 + 144} = \sqrt{169} = 13$.
Ответ: 13.

в) до оси абсцисс
Расстояние от точки до оси — это длина перпендикуляра, опущенного из точки на эту ось. Проекцией точки $A(3; -1; 4)$ на ось абсцисс (ось $Ox$) является точка $A_x(3; 0; 0)$. Расстояние до оси абсцисс равно расстоянию между точками $A$ и $A_x$.
$d = \sqrt{(3-3)^2 + (0-(-1))^2 + (0-4)^2} = \sqrt{0^2 + 1^2 + (-4)^2} = \sqrt{1+16} = \sqrt{17}$.
В общем случае, расстояние от точки с координатами $(x_0; y_0; z_0)$ до оси абсцисс вычисляется по формуле $\sqrt{y_0^2 + z_0^2}$.
Ответ: $\sqrt{17}$.

г) до оси ординат
Проекцией точки $A(3; -1; 4)$ на ось ординат (ось $Oy$) является точка $A_y(0; -1; 0)$. Расстояние до оси ординат равно расстоянию между точками $A$ и $A_y$.
$d = \sqrt{(0-3)^2 + (-1-(-1))^2 + (0-4)^2} = \sqrt{(-3)^2 + 0^2 + (-4)^2} = \sqrt{9+16} = \sqrt{25}=5$.
В общем случае, расстояние от точки с координатами $(x_0; y_0; z_0)$ до оси ординат вычисляется по формуле $\sqrt{x_0^2 + z_0^2}$.
Ответ: 5.

д) до оси аппликат
Проекцией точки $A(3; -1; 4)$ на ось аппликат (ось $Oz$) является точка $A_z(0; 0; 4)$. Расстояние до оси аппликат равно расстоянию между точками $A$ и $A_z$.
$d = \sqrt{(0-3)^2 + (0-(-1))^2 + (4-4)^2} = \sqrt{(-3)^2 + 1^2 + 0^2} = \sqrt{9+1} = \sqrt{10}$.
В общем случае, расстояние от точки с координатами $(x_0; y_0; z_0)$ до оси аппликат вычисляется по формуле $\sqrt{x_0^2 + y_0^2}$.
Ответ: $\sqrt{10}$.

е) до плоскости xOy
Расстояние от точки $A(x_A; y_A; z_A)$ до координатной плоскости $xOy$ (уравнение которой $z=0$) равно модулю её аппликаты ($z_A$), так как это длина перпендикуляра от точки до плоскости.
Для точки $A(3; -1; 4)$, расстояние до плоскости $xOy$ равно $|z_A| = |4| = 4$.
Ответ: 4.

ж) до плоскости xOz
Расстояние от точки $A(x_A; y_A; z_A)$ до координатной плоскости $xOz$ (уравнение которой $y=0$) равно модулю её ординаты ($y_A$).
Для точки $A(3; -1; 4)$, расстояние до плоскости $xOz$ равно $|y_A| = |-1| = 1$.
Ответ: 1.

з) до плоскости yOz
Расстояние от точки $A(x_A; y_A; z_A)$ до координатной плоскости $yOz$ (уравнение которой $x=0$) равно модулю её абсциссы ($x_A$).
Для точки $A(3; -1; 4)$, расстояние до плоскости $yOz$ равно $|x_A| = |3| = 3$.
Ответ: 3.