Номер 371, страница 139 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

371. Определите, является ли прямоугольником четырёхугольник ABCD, если:

a) $A(-3; -1; 10), B(-10; -8; -2), C(7; -1; -14), D(2; 6; 14);$

б) $A(-3; -1; 10), B(2; 6; 14), C(7; -1; -14), D(2; -8; -16);$

в) $A(7; -1; 14), B(-10; -3; -10), C(-3; -1; 10), D(14; -5; 6).$

а)

Чтобы определить, является ли четырехугольник $ABCD$ прямоугольником, необходимо проверить два условия:
1. Является ли $ABCD$ параллелограммом.
2. Если $ABCD$ — параллелограмм, есть ли у него прямой угол (или равны ли его диагонали).

Четырехугольник является параллелограммом, если векторы его противолежащих сторон равны. Проверим равенство векторов $\vec{AB}$ и $\vec{DC}$.
Координаты вершин: $A(-3; -1; 10)$, $B(-10; -8; -2)$, $C(7; -1; -14)$, $D(2; 6; 14)$.

Найдем координаты вектора $\vec{AB}$:
$\vec{AB} = (x_B - x_A; y_B - y_A; z_B - z_A) = (-10 - (-3); -8 - (-1); -2 - 10) = (-7; -7; -12)$.

Найдем координаты вектора $\vec{DC}$:
$\vec{DC} = (x_C - x_D; y_C - y_D; z_C - z_D) = (7 - 2; -1 - 6; -14 - 14) = (5; -7; -28)$.

Сравнивая векторы $\vec{AB}$ и $\vec{DC}$, видим, что их соответствующие координаты не равны:
$\vec{AB} \neq \vec{DC}$.

Поскольку противолежащие стороны $AB$ и $DC$ не равны и не параллельны, четырехугольник $ABCD$ не является параллелограммом. Следовательно, он не может быть прямоугольником.

Ответ: Четырехугольник $ABCD$ не является прямоугольником.

б)

Проверим, является ли четырехугольник $ABCD$ с вершинами $A(-3; -1; 10)$, $B(2; 6; 14)$, $C(7; -1; -14)$, $D(2; -8; -16)$ параллелограммом. Для этого сравним векторы $\vec{AB}$ и $\vec{DC}$.

Найдем координаты вектора $\vec{AB}$:
$\vec{AB} = (x_B - x_A; y_B - y_A; z_B - z_A) = (2 - (-3); 6 - (-1); 14 - 10) = (5; 7; 4)$.

Найдем координаты вектора $\vec{DC}$:
$\vec{DC} = (x_C - x_D; y_C - y_D; z_C - z_D) = (7 - 2; -1 - (-8); -14 - (-16)) = (5; 7; 2)$.

Сравним векторы:
$\vec{AB} = (5; 7; 4)$
$\vec{DC} = (5; 7; 2)$

Поскольку $z$-координаты векторов не совпадают ($4 \neq 2$), то $\vec{AB} \neq \vec{DC}$.
Четырехугольник $ABCD$ не является параллелограммом, а значит, не является и прямоугольником.

Ответ: Четырехугольник $ABCD$ не является прямоугольником.

в)

Проверим, является ли четырехугольник $ABCD$ с вершинами $A(7; -1; 14)$, $B(-10; -3; -10)$, $C(-3; -1; 10)$, $D(14; -5; 6)$ параллелограммом. Сравним векторы $\vec{AB}$ и $\vec{DC}$.

Найдем координаты вектора $\vec{AB}$:
$\vec{AB} = (x_B - x_A; y_B - y_A; z_B - z_A) = (-10 - 7; -3 - (-1); -10 - 14) = (-17; -2; -24)$.

Найдем координаты вектора $\vec{DC}$:
$\vec{DC} = (x_C - x_D; y_C - y_D; z_C - z_D) = (-3 - 14; -1 - (-5); 10 - 6) = (-17; 4; 4)$.

Сравним векторы:
$\vec{AB} = (-17; -2; -24)$
$\vec{DC} = (-17; 4; 4)$

Координаты векторов не совпадают, следовательно $\vec{AB} \neq \vec{DC}$.
Так как $ABCD$ не является параллелограммом, он не может быть прямоугольником.

Ответ: Четырехугольник $ABCD$ не является прямоугольником.