Номер 370, страница 139 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

370. Определите, является ли параллелограммом четырёхугольник ABCD, если:

a) $A(-1; 3; -4)$, $B(-2; 3; 4)$, $C(-5; 3; -2)$, $D(-4; 3; -10);$

б) $A(1; -2; -3)$, $B(-3; 2; 1)$, $C(-5; 4; 3)$, $D(-1; 3; -1);$

в) $A(-1; 2; -3)$, $B(-2; 3; -4)$, $C(5; -2; -2)$, $D(4; -1; -3).$

Для того чтобы определить, является ли четырёхугольник $ABCD$ параллелограммом, можно воспользоваться одним из его свойств: в параллелограмме противолежащие стороны равны и параллельны. В векторной форме это означает, что векторы, представляющие противолежащие стороны, должны быть равны. Например, для параллелограмма $ABCD$ должно выполняться равенство векторов $\vec{AB} = \vec{DC}$ (вектор из A в B равен вектору из D в C).

Координаты вектора, заданного начальной точкой $P_1(x_1, y_1, z_1)$ и конечной точкой $P_2(x_2, y_2, z_2)$, вычисляются по формуле: $\vec{P_1P_2} = (x_2 - x_1; y_2 - y_1; z_2 - z_1)$.

а) Даны точки $A(-1; 3; -4)$, $B(-2; 3; 4)$, $C(-5; 3; -2)$, $D(-4; 3; -10)$.

Найдём координаты вектора $\vec{AB}$:

$\vec{AB} = (-2 - (-1); 3 - 3; 4 - (-4)) = (-1; 0; 8)$.

Найдём координаты вектора $\vec{DC}$:

$\vec{DC} = (-5 - (-4); 3 - 3; -2 - (-10)) = (-1; 0; 8)$.

Сравниваем полученные векторы: $\vec{AB} = (-1; 0; 8)$ и $\vec{DC} = (-1; 0; 8)$.

Так как $\vec{AB} = \vec{DC}$, стороны $AB$ и $DC$ параллельны и равны по длине. Это является достаточным условием для того, чтобы четырёхугольник был параллелограммом, при условии, что его вершины не лежат на одной прямой. Проверим, что точки не коллинеарны, найдя вектор $\vec{AD}$ и сравнив его с $\vec{AB}$.

$\vec{AD} = (-4 - (-1); 3 - 3; -10 - (-4)) = (-3; 0; -6)$.

Векторы $\vec{AB}$ и $\vec{AD}$ не коллинеарны, так как их координаты не пропорциональны. Следовательно, точки не лежат на одной прямой, и четырёхугольник $ABCD$ является параллелограммом.

Ответ: является.

б) Даны точки $A(1; -2; -3)$, $B(-3; 2; 1)$, $C(-5; 4; 3)$, $D(-1; 3; -1)$.

Найдём координаты вектора $\vec{AB}$:

$\vec{AB} = (-3 - 1; 2 - (-2); 1 - (-3)) = (-4; 4; 4)$.

Найдём координаты вектора $\vec{DC}$:

$\vec{DC} = (-5 - (-1); 4 - 3; 3 - (-1)) = (-4; 1; 4)$.

Сравниваем полученные векторы: $\vec{AB} = (-4; 4; 4)$ и $\vec{DC} = (-4; 1; 4)$.

Так как $\vec{AB} \neq \vec{DC}$ (вторые координаты не совпадают: $4 \neq 1$), четырёхугольник $ABCD$ не является параллелограммом.

Ответ: не является.

в) Даны точки $A(-1; 2; -3)$, $B(-2; 3; -4)$, $C(5; -2; -2)$, $D(4; -1; -3)$.

Найдём координаты вектора $\vec{AB}$:

$\vec{AB} = (-2 - (-1); 3 - 2; -4 - (-3)) = (-1; 1; -1)$.

Найдём координаты вектора $\vec{DC}$:

$\vec{DC} = (5 - 4; -2 - (-1); -2 - (-3)) = (1; -1; 1)$.

Сравниваем полученные векторы: $\vec{AB} = (-1; 1; -1)$ и $\vec{DC} = (1; -1; 1)$.

Так как $\vec{AB} \neq \vec{DC}$, четырёхугольник $ABCD$ не является параллелограммом.

Ответ: не является.