Номер 377, страница 140 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

377. Найдите точку, равноудалённую от точек $A(2; -3; 3)$ и $B(-2; 3; 3)$ и расположенную на:

a) оси абсцисс;

б) оси аппликат.

Пусть искомая точка $P$ имеет координаты $(x, y, z)$. Условие равноудаленности точки $P$ от точек $A(2; -3; 3)$ и $B(-2; 3; 3)$ означает, что расстояние $PA$ равно расстоянию $PB$. Для удобства вычислений будем использовать равенство квадратов этих расстояний: $PA^2 = PB^2$.

Формула квадрата расстояния между двумя точками $M_1(x_1; y_1; z_1)$ и $M_2(x_2; y_2; z_2)$ выглядит так:$d^2 = (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2$

Применим эту формулу к нашим точкам:$PA^2 = (x - 2)^2 + (y - (-3))^2 + (z - 3)^2 = (x - 2)^2 + (y + 3)^2 + (z - 3)^2$$PB^2 = (x - (-2))^2 + (y - 3)^2 + (z - 3)^2 = (x + 2)^2 + (y - 3)^2 + (z - 3)^2$

Приравняем квадраты расстояний:$(x - 2)^2 + (y + 3)^2 + (z - 3)^2 = (x + 2)^2 + (y - 3)^2 + (z - 3)^2$

Можно заметить, что слагаемое $(z - 3)^2$ присутствует в обеих частях уравнения, поэтому его можно сократить:$(x - 2)^2 + (y + 3)^2 = (x + 2)^2 + (y - 3)^2$

Раскроем скобки, используя формулы квадрата суммы и квадрата разности:$x^2 - 4x + 4 + y^2 + 6y + 9 = x^2 + 4x + 4 + y^2 - 6y + 9$

Сократим одинаковые слагаемые ($x^2$, $y^2$, 4, 9) в обеих частях:$-4x + 6y = 4x - 6y$

Перенесем все слагаемые с $x$ в одну сторону, а с $y$ в другую:$6y + 6y = 4x + 4x$$12y = 8x$

Разделим обе части на 4:$3y = 2x$

Это уравнение ($2x - 3y = 0$) задает геометрическое место точек, равноудаленных от A и B. Теперь найдем конкретную точку, которая также лежит на заданной оси.

а)

Искомая точка расположена на оси абсцисс (ось $Ox$). Любая точка на оси абсцисс имеет координаты $(x; 0; 0)$.

Чтобы найти эту точку, подставим ее координаты $y=0$ и $z=0$ в полученное нами уравнение $3y = 2x$:$3 \cdot 0 = 2x$$0 = 2x$$x = 0$

Таким образом, искомая точка имеет координаты $(0; 0; 0)$.

Ответ: $(0; 0; 0)$

б)

Искомая точка расположена на оси аппликат (ось $Oz$). Любая точка на оси аппликат имеет координаты $(0; 0; z)$.

Подставим ее координаты $x=0$ и $y=0$ в уравнение $3y = 2x$:$3 \cdot 0 = 2 \cdot 0$$0 = 0$

Это равенство является тождеством, то есть оно верно для любого значения $z$. Это означает, что любая точка, лежащая на оси аппликат, равноудалена от точек A и B.

Действительно, если подставить координаты точки $(0; 0; z)$ в исходное равенство $PA^2 = PB^2$, получим:$PA^2 = (0 - 2)^2 + (0 - (-3))^2 + (z - 3)^2 = 4 + 9 + (z-3)^2 = 13 + (z-3)^2$$PB^2 = (0 - (-2))^2 + (0 - 3)^2 + (z - 3)^2 = 4 + 9 + (z-3)^2 = 13 + (z-3)^2$

Так как $PA^2=PB^2$ для любого $z$, то любая точка на оси $Oz$ удовлетворяет условию задачи.

Ответ: любая точка оси аппликат, то есть точка с координатами $(0; 0; z)$, где $z$ — любое действительное число.