Номер 376, страница 140 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

376. Найдите точку, равноудаленную от точек $A(3; -2; 5)$ и $B(-1; 4; -3)$

и расположенную на:

a) оси абсцисс;

б) оси аппликат.

Пусть искомая точка $M$ имеет координаты $(x; y; z)$. По условию задачи, точка $M$ равноудалена от точек $A(3; -2; 5)$ и $B(-1; 4; -3)$. Это означает, что расстояние $MA$ равно расстоянию $MB$, или, что то же самое, квадраты этих расстояний равны: $MA^2 = MB^2$.

Формула квадрата расстояния между двумя точками $P_1(x_1; y_1; z_1)$ и $P_2(x_2; y_2; z_2)$ имеет вид:

$d^2 = (x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2$.

Применим эту формулу для наших точек:

$MA^2 = (x-3)^2 + (y-(-2))^2 + (z-5)^2 = (x-3)^2 + (y+2)^2 + (z-5)^2$.

$MB^2 = (x-(-1))^2 + (y-4)^2 + (z-(-3))^2 = (x+1)^2 + (y-4)^2 + (z+3)^2$.

Приравняем квадраты расстояний:

$(x-3)^2 + (y+2)^2 + (z-5)^2 = (x+1)^2 + (y-4)^2 + (z+3)^2$.

Теперь рассмотрим каждый случай отдельно.

а) оси абсцисс;

Если точка $M$ лежит на оси абсцисс (оси Ox), то ее координаты равны $(x; 0; 0)$. Подставим $y=0$ и $z=0$ в наше уравнение равенства расстояний:

$(x-3)^2 + (0+2)^2 + (0-5)^2 = (x+1)^2 + (0-4)^2 + (0+3)^2$

$(x-3)^2 + 4 + 25 = (x+1)^2 + 16 + 9$

$(x-3)^2 + 29 = (x+1)^2 + 25$

Раскроем скобки:

$x^2 - 6x + 9 + 29 = x^2 + 2x + 1 + 25$

$x^2 - 6x + 38 = x^2 + 2x + 26$

Сократим $x^2$ в обеих частях уравнения и перенесем члены с $x$ в одну сторону, а константы в другую:

$38 - 26 = 2x + 6x$

$12 = 8x$

$x = \frac{12}{8} = \frac{3}{2} = 1.5$

Таким образом, искомая точка на оси абсцисс имеет координаты $(1.5; 0; 0)$.

Ответ: $M(1.5; 0; 0)$.

б) оси аппликат.

Если точка $M$ лежит на оси аппликат (оси Oz), то ее координаты равны $(0; 0; z)$. Подставим $x=0$ и $y=0$ в наше уравнение равенства расстояний:

$(0-3)^2 + (0+2)^2 + (z-5)^2 = (0+1)^2 + (0-4)^2 + (z+3)^2$

$9 + 4 + (z-5)^2 = 1 + 16 + (z+3)^2$

$13 + (z-5)^2 = 17 + (z+3)^2$

Раскроем скобки:

$13 + z^2 - 10z + 25 = 17 + z^2 + 6z + 9$

$z^2 - 10z + 38 = z^2 + 6z + 26$

Сократим $z^2$ в обеих частях уравнения и перенесем члены с $z$ в одну сторону, а константы в другую:

$38 - 26 = 6z + 10z$

$12 = 16z$

$z = \frac{12}{16} = \frac{3}{4} = 0.75$

Таким образом, искомая точка на оси аппликат имеет координаты $(0; 0; 0.75)$.

Ответ: $M(0; 0; 0.75)$.