Номер 369, страница 139 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

369. В пространстве отмечены точки $A(2; -1; 3)$, $B(3; 1; -5)$ и $C(4; 3; 1)$. Найдите координаты такой точки $D$, что параллелограммом является четырёхугольник:

а) $ABCD$;

б) $ABDC$;

в) $ADBC$.

Для решения задачи воспользуемся свойством параллелограмма: в параллелограмме векторы противоположных сторон равны. Это означает, что для параллелограмма с вершинами P, Q, R, S, расположенными последовательно, выполняется равенство векторов $\vec{PQ} = \vec{SR}$. Координаты вектора, идущего из точки $M_1(x_1; y_1; z_1)$ в точку $M_2(x_2; y_2; z_2)$, вычисляются по формуле $\vec{M_1M_2} = (x_2-x_1; y_2-y_1; z_2-z_1)$.

Даны точки A(2; -1; 3), B(3; 1; -5) и C(4; 3; 1). Пусть искомая точка D имеет координаты $(x; y; z)$.

a) ABCD

Для того чтобы четырехугольник ABCD был параллелограммом, необходимо, чтобы выполнялось векторное равенство $\vec{AB} = \vec{DC}$.

Найдем координаты вектора $\vec{AB}$:

$\vec{AB} = (3 - 2; 1 - (-1); -5 - 3) = (1; 2; -8)$.

Найдем координаты вектора $\vec{DC}$:

$\vec{DC} = (4 - x; 3 - y; 1 - z)$.

Приравнивая соответствующие координаты векторов, получаем систему уравнений:

$1 = 4 - x$

$2 = 3 - y$

$-8 = 1 - z$

Из этой системы находим координаты точки D:

$x = 4 - 1 = 3$

$y = 3 - 2 = 1$

$z = 1 - (-8) = 9$

Таким образом, координаты точки D равны (3; 1; 9).

Ответ: D(3; 1; 9).

б) ABDC

Для того чтобы четырехугольник ABDC был параллелограммом, необходимо, чтобы выполнялось векторное равенство $\vec{AB} = \vec{CD}$.

Координаты вектора $\vec{AB}$ уже найдены: $\vec{AB} = (1; 2; -8)$.

Найдем координаты вектора $\vec{CD}$:

$\vec{CD} = (x - 4; y - 3; z - 1)$.

Приравнивая соответствующие координаты векторов, получаем систему уравнений:

$1 = x - 4$

$2 = y - 3$

$-8 = z - 1$

Из этой системы находим координаты точки D:

$x = 1 + 4 = 5$

$y = 2 + 3 = 5$

$z = -8 + 1 = -7$

Таким образом, координаты точки D равны (5; 5; -7).

Ответ: D(5; 5; -7).

в) ADBC

Для того чтобы четырехугольник ADBC был параллелограммом, необходимо, чтобы выполнялось векторное равенство $\vec{AD} = \vec{CB}$.

Найдем координаты вектора $\vec{AD}$:

$\vec{AD} = (x - 2; y - (-1); z - 3) = (x - 2; y + 1; z - 3)$.

Найдем координаты вектора $\vec{CB}$:

$\vec{CB} = (3 - 4; 1 - 3; -5 - 1) = (-1; -2; -6)$.

Приравнивая соответствующие координаты векторов, получаем систему уравнений:

$x - 2 = -1$

$y + 1 = -2$

$z - 3 = -6$

Из этой системы находим координаты точки D:

$x = -1 + 2 = 1$

$y = -2 - 1 = -3$

$z = -6 + 3 = -3$

Таким образом, координаты точки D равны (1; -3; -3).

Ответ: D(1; -3; -3).