Номер 7, страница 138 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

7. Как найти расстояние между точками, если известны их координаты?

Чтобы найти расстояние между двумя точками по их координатам, нужно использовать формулу, которая зависит от размерности пространства, в котором находятся точки (на прямой, на плоскости или в трехмерном пространстве).

На координатной прямой (в одномерном пространстве)

Пусть на координатной прямой даны две точки $A$ с координатой $x_1$ и $B$ с координатой $x_2$. Расстояние $d$ между точками $A$ и $B$ равно модулю (абсолютной величине) разности их координат.

Формула для вычисления расстояния: $d = |x_2 - x_1|$

Модуль используется потому, что расстояние не может быть отрицательной величиной.

Ответ: Расстояние между двумя точками на прямой равно модулю разности их координат. Формула: $d = |x_2 - x_1|$.

На координатной плоскости (в двумерном пространстве)

Пусть на плоскости даны две точки $A$ с координатами $(x_1, y_1)$ и $B$ с координатами $(x_2, y_2)$. Расстояние между этими точками можно найти с помощью теоремы Пифагора. Если через точки $A$ и $B$ провести прямые, параллельные осям координат, то они образуют прямоугольный треугольник, в котором отрезок $AB$ будет гипотенузой. Длины катетов этого треугольника будут равны $|x_2 - x_1|$ и $|y_2 - y_1|$.

Согласно теореме Пифагора, квадрат гипотенузы ($d^2$) равен сумме квадратов катетов: $d^2 = (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2$

Извлекая квадратный корень из обеих частей, получаем формулу для расстояния между двумя точками на плоскости: $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$

Ответ: Расстояние между двумя точками на плоскости равно квадратному корню из суммы квадратов разностей их соответствующих координат. Формула: $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$.

В пространстве (в трехмерном пространстве)

Пусть в пространстве даны две точки $A$ с координатами $(x_1, y_1, z_1)$ и $B$ с координатами $(x_2, y_2, z_2)$. Формула для нахождения расстояния в пространстве является обобщением формулы для плоскости и также следует из теоремы Пифагора, примененной дважды. Расстояние $d$ является главной диагональю прямоугольного параллелепипеда, ребра которого параллельны осям координат, а их длины равны $|x_2 - x_1|$, $|y_2 - y_1|$ и $|z_2 - z_1|$.

Формула для вычисления расстояния в трехмерном пространстве: $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}$

Ответ: Расстояние между двумя точками в пространстве равно квадратному корню из суммы квадратов разностей их соответствующих координат. Формула: $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}$.