Номер 10, страница 134 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

10. Перпендикуляры, опущенные из точек $C$ и $D$, взятых в разных перпендикулярных плоскостях, на линию их пересечения, соответственно равны $c$ и $d$, а расстояние между их основаниями равно $l$. Найдите отрезок $CD$ и его проекции на каждую из плоскостей.

Пусть даны две перпендикулярные плоскости $\alpha$ и $\beta$. Их линия пересечения — прямая $a$. В плоскости $\alpha$ взята точка $C$, а в плоскости $\beta$ — точка $D$.

Из точек $C$ и $D$ опущены перпендикуляры на прямую $a$. Пусть $C_1$ и $D_1$ — основания этих перпендикуляров, $C_1 \in a$ и $D_1 \in a$. По условию задачи, длины этих перпендикуляров равны $CC_1 = c$ и $DD_1 = d$. Расстояние между основаниями перпендикуляров равно $C_1D_1 = l$.

Из определения следует, что $CC_1 \perp a$ и $DD_1 \perp a$.

Отрезок CD

Рассмотрим треугольник $\triangle CD_1D$. Чтобы найти длину отрезка $CD$, нам нужно знать длины сторон $CD_1$ и $DD_1$, а также угол между ними.

Поскольку плоскости $\alpha$ и $\beta$ перпендикулярны, а прямая $DD_1$ лежит в плоскости $\beta$ и перпендикулярна их линии пересечения $a$, то прямая $DD_1$ перпендикулярна всей плоскости $\alpha$. Следовательно, $DD_1$ перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости $\alpha$. Прямая $CD_1$ лежит в плоскости $\alpha$. Таким образом, $DD_1 \perp CD_1$, и треугольник $\triangle CD_1D$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $D_1$.

По теореме Пифагора для $\triangle CD_1D$:
$CD^2 = CD_1^2 + DD_1^2$

Теперь найдем длину $CD_1$. Отрезки $CC_1$ и $C_1D_1$ лежат в плоскости $\alpha$. Так как $CC_1 \perp a$ и точка $D_1$ лежит на прямой $a$, то $\triangle CC_1D_1$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $C_1$. По теореме Пифагора для $\triangle CC_1D_1$:
$CD_1^2 = CC_1^2 + C_1D_1^2 = c^2 + l^2$

Подставим найденное значение $CD_1^2$ в первое уравнение:
$CD^2 = (c^2 + l^2) + d^2 = c^2 + d^2 + l^2$
Отсюда длина отрезка $CD$ равна: $CD = \sqrt{c^2 + d^2 + l^2}$

Ответ: $CD = \sqrt{c^2 + d^2 + l^2}$

Проекции отрезка CD на каждую из плоскостей

1. Проекция на плоскость $\alpha$
Проекцией отрезка на плоскость является отрезок, соединяющий проекции его концов на эту плоскость.

• Проекция точки $C$ на плоскость $\alpha$: так как точка $C$ уже лежит в плоскости $\alpha$, ее проекция совпадает с самой точкой $C$.
• Проекция точки $D$ на плоскость $\alpha$: как мы установили ранее, прямая $DD_1$ перпендикулярна плоскости $\alpha$. Следовательно, точка $D_1$ является ортогональной проекцией точки $D$ на плоскость $\alpha$.

Таким образом, проекцией отрезка $CD$ на плоскость $\alpha$ является отрезок $CD_1$. Длину этого отрезка мы уже нашли: $CD_1 = \sqrt{c^2 + l^2}$.

2. Проекция на плоскость $\beta$
Аналогично найдем проекцию отрезка $CD$ на плоскость $\beta$.

• Проекция точки $D$ на плоскость $\beta$: так как точка $D$ лежит в плоскости $\beta$, ее проекция совпадает с самой точкой $D$.
• Проекция точки $C$ на плоскость $\beta$: поскольку $CC_1 \perp a$ и $CC_1$ лежит в плоскости $\alpha$, которая перпендикулярна плоскости $\beta$, то прямая $CC_1$ перпендикулярна всей плоскости $\beta$. Значит, точка $C_1$ является ортогональной проекцией точки $C$ на плоскость $\beta$.

Таким образом, проекцией отрезка $CD$ на плоскость $\beta$ является отрезок $C_1D$. Для нахождения его длины рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle C_1D_1D$ (угол при вершине $D_1$ прямой, так как $DD_1 \perp a$). По теореме Пифагора: $C_1D^2 = C_1D_1^2 + DD_1^2 = l^2 + d^2$
Длина проекции равна $C_1D = \sqrt{l^2 + d^2}$.

Ответ: Длина проекции отрезка $CD$ на плоскость, в которой лежит точка $C$ (плоскость $\alpha$), равна $\sqrt{c^2 + l^2}$. Длина проекции на плоскость, в которой лежит точка $D$ (плоскость $\beta$), равна $\sqrt{d^2 + l^2}$.