Номер 8, страница 134 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

8. Основанием пирамиды служит треугольник со сторонами 13 см, 14 см, 15 см. Боковое ребро напротив средней по величине стороны основания перпендикулярно плоскости основания и равно 16 см. Найдите величины двугранных углов при основании этой пирамиды.

Пусть дана пирамида $SABC$, где треугольник $ABC$ – основание. Стороны основания: $AB = 13$ см, $AC = 14$ см, $BC = 15$ см. Средней по величине стороной основания является сторона $AC = 14$ см. Боковое ребро, противолежащее этой стороне, исходит из вершины $B$. По условию, это ребро перпендикулярно плоскости основания, то есть $SB \perp (ABC)$. Высота пирамиды $H = SB = 16$ см.

Двугранные углы при основании пирамиды – это углы между боковыми гранями и плоскостью основания. Таких углов три, по одному для каждой стороны основания: $AB$, $BC$ и $AC$.

Двугранные углы при сторонах AB и BC
Рассмотрим двугранный угол при ребре $AB$. Он образован плоскостями $(SAB)$ и $(ABC)$. Поскольку ребро $SB$ перпендикулярно плоскости основания $(ABC)$, то оно перпендикулярно любой прямой в этой плоскости, в том числе и прямой $AB$. Таким образом, $SB \perp AB$. Так как плоскость боковой грани $(SAB)$ проходит через прямую $SB$, которая перпендикулярна плоскости основания $(ABC)$, то сама плоскость $(SAB)$ перпендикулярна плоскости $(ABC)$. Следовательно, двугранный угол при ребре $AB$ равен $90^\circ$.

Аналогично для двугранного угла при ребре $BC$. Он образован плоскостями $(SBC)$ и $(ABC)$. Так как $SB \perp (ABC)$, то $SB \perp BC$. Плоскость $(SBC)$ проходит через перпендикуляр $SB$ к плоскости $(ABC)$, значит, плоскость $(SBC)$ перпендикулярна плоскости $(ABC)$. Двугранный угол при ребре $BC$ также равен $90^\circ$.

Ответ: двугранные углы при сторонах основания, равных 13 см и 15 см, составляют $90^\circ$.

Двугранный угол при стороне AC
Этот угол образован плоскостями $(SAC)$ и $(ABC)$. Для его нахождения построим его линейный угол. Проведем в треугольнике основания $ABC$ высоту $BH$ к стороне $AC$. Таким образом, $BH \perp AC$.

Поскольку $SB$ – перпендикуляр к плоскости $(ABC)$, а $SH$ – наклонная к этой плоскости, и ее проекция $BH$ перпендикулярна прямой $AC$, то по теореме о трех перпендикулярах наклонная $SH$ также перпендикулярна прямой $AC$ ($SH \perp AC$).

Следовательно, угол $\angle SHB$ является линейным углом двугранного угла при ребре $AC$. Найдем его величину.

Рассмотрим треугольник $SBH$. Так как $SB \perp (ABC)$, то $SB$ перпендикулярна любой прямой в этой плоскости, в том числе и $BH$. Значит, треугольник $SBH$ – прямоугольный с прямым углом $\angle SBH$. Тангенс искомого угла $\alpha = \angle SHB$ равен отношению противолежащего катета $SB$ к прилежащему катету $BH$: $\tan(\alpha) = \frac{SB}{BH}$.

Высота пирамиды $SB$ нам известна ($16$ см). Найдем длину высоты $BH$ треугольника $ABC$. Для этого сначала вычислим площадь треугольника $ABC$ по формуле Герона. Полупериметр $p = \frac{13 + 14 + 15}{2} = \frac{42}{2} = 21$ см.

Площадь $S_{ABC} = \sqrt{p(p-AB)(p-AC)(p-BC)} = \sqrt{21(21-13)(21-14)(21-15)} = \sqrt{21 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6}$. $S_{ABC} = \sqrt{(3 \cdot 7) \cdot (2^3) \cdot 7 \cdot (2 \cdot 3)} = \sqrt{3^2 \cdot 7^2 \cdot 2^4} = 3 \cdot 7 \cdot 2^2 = 21 \cdot 4 = 84$ см$^2$.

С другой стороны, площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту: $S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BH$. $84 = \frac{1}{2} \cdot 14 \cdot BH$ $84 = 7 \cdot BH$ $BH = \frac{84}{7} = 12$ см.

Теперь можем найти тангенс угла $\alpha$: $\tan(\alpha) = \frac{SB}{BH} = \frac{16}{12} = \frac{4}{3}$.

Сам угол равен арктангенсу этого значения: $\alpha = \arctan(\frac{4}{3})$.

Ответ: двугранный угол при стороне основания, равной 14 см, составляет $\arctan(\frac{4}{3})$.