Номер 9, страница 134 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

9. В треугольной пирамиде все рёбра основания равны $a$, а все боковые рёбра — $b$. Найдите расстояние между боковым ребром и ребром основания, не лежащим с ним в одной плоскости.

9.

Пусть дана треугольная пирамида SABC, в которой все рёбра основания ABC равны $a$ (то есть основание — равносторонний треугольник), а все боковые рёбра SA, SB, SC равны $b$. Такая пирамида является правильной. Требуется найти расстояние между боковым ребром и ребром основания, не лежащим с ним в одной плоскости. Возьмём для определённости боковое ребро $SA$ и ребро основания $BC$. Эти рёбра являются скрещивающимися.

Расстояние между скрещивающимися прямыми равно длине их общего перпендикуляра. Построим этот перпендикуляр.

1. Пусть $K$ — середина ребра $BC$. В равностороннем треугольнике $ABC$ медиана $AK$ является также и высотой, следовательно, $AK \perp BC$.

2. В равнобедренном треугольнике $SBC$ (так как $SB = SC = b$) медиана $SK$ также является высотой, следовательно, $SK \perp BC$.

3. Прямая $BC$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $AK$ и $SK$, которые лежат в плоскости $SAK$. По признаку перпендикулярности прямой и плоскости, прямая $BC$ перпендикулярна плоскости $SAK$.

4. Общий перпендикуляр к прямым $SA$ и $BC$ должен быть перпендикулярен им обеим. Так как любая прямая, лежащая в плоскости $SAK$, перпендикулярна прямой $BC$, то наш искомый перпендикуляр должен лежать в плоскости $SAK$. Таким образом, задача сводится к нахождению в плоскости $SAK$ расстояния от точки $K$ (точка пересечения прямой $BC$ с плоскостью $SAK$) до прямой $SA$. Это расстояние равно длине высоты $KH$, опущенной из вершины $K$ на сторону $SA$ в треугольнике $SAK$.

5. Для нахождения высоты $KH$ определим длины сторон треугольника $SAK$: • Сторона $SA$ равна $b$ по условию. • Сторона $AK$ является высотой в равностороннем треугольнике со стороной $a$, её длина: $AK = \frac{a\sqrt{3}}{2}$. • Сторону $SK$ найдём из прямоугольного треугольника $SKB$ по теореме Пифагора ($KB = \frac{a}{2}$): $SK^2 = SB^2 - KB^2 = b^2 - (\frac{a}{2})^2 = b^2 - \frac{a^2}{4}$. Отсюда $SK = \sqrt{b^2 - \frac{a^2}{4}} = \frac{\sqrt{4b^2 - a^2}}{2}$.

6. Найдём высоту $KH$ треугольника $SAK$ через его площадь. Площадь $S_{\triangle SAK}$ можно вычислить по формуле $S_{\triangle SAK} = \frac{1}{2} \cdot SA \cdot KH$. Для нахождения площади используем теорему косинусов, чтобы найти угол $\angle SAK$: $SK^2 = SA^2 + AK^2 - 2 \cdot SA \cdot AK \cdot \cos(\angle SAK)$. Подставляем известные длины сторон: $b^2 - \frac{a^2}{4} = b^2 + \left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)^2 - 2 \cdot b \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2} \cdot \cos(\angle SAK)$ $b^2 - \frac{a^2}{4} = b^2 + \frac{3a^2}{4} - ab\sqrt{3} \cdot \cos(\angle SAK)$ $ab\sqrt{3} \cdot \cos(\angle SAK) = \frac{3a^2}{4} + \frac{a^2}{4} = a^2$ $\cos(\angle SAK) = \frac{a^2}{ab\sqrt{3}} = \frac{a}{b\sqrt{3}}$.

7. Используя основное тригонометрическое тождество, найдём синус угла $\angle SAK$: $\sin(\angle SAK) = \sqrt{1 - \cos^2(\angle SAK)} = \sqrt{1 - \left(\frac{a}{b\sqrt{3}}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{a^2}{3b^2}} = \sqrt{\frac{3b^2 - a^2}{3b^2}} = \frac{\sqrt{3b^2 - a^2}}{b\sqrt{3}}$.

8. Теперь можем вычислить площадь треугольника $SAK$: $S_{\triangle SAK} = \frac{1}{2} \cdot SA \cdot AK \cdot \sin(\angle SAK) = \frac{1}{2} \cdot b \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3b^2 - a^2}}{b\sqrt{3}} = \frac{a\sqrt{3b^2 - a^2}}{4}$.

9. Наконец, найдём искомую высоту $KH$, которая и является расстоянием между рёбрами $SA$ и $BC$: $KH = \frac{2 \cdot S_{\triangle SAK}}{SA} = \frac{2 \cdot \frac{a\sqrt{3b^2 - a^2}}{4}}{b} = \frac{\frac{a\sqrt{3b^2 - a^2}}{2}}{b} = \frac{a\sqrt{3b^2 - a^2}}{2b}$.

Ответ: $\frac{a\sqrt{3b^2 - a^2}}{2b}$