Номер 6, страница 134 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

6. В плоскости $\delta$ проведены две параллельные прямые $MN$ и $KL$, отстоящие друг от друга на $a$, а вне плоскости $\delta$ выбрана точка $C$, отстоящая от $MN$ на $b$ и от $KL$ на $c$. Найдите расстояние от точки $C$ до плоскости $\delta$, учитывая, что $a = 6$, $b = 25$, $c = 29$.

Пусть $h$ — искомое расстояние от точки $C$ до плоскости $δ$. Обозначим через $H$ проекцию точки $C$ на плоскость $δ$. Тогда длина отрезка $CH$ равна $h$, и по определению $CH$ перпендикулярен плоскости $δ$.

В плоскости $δ$ проведены две параллельные прямые $MN$ и $KL$, расстояние между которыми равно $a=6$. Точка $C$ находится вне плоскости $δ$. Расстояние от точки $C$ до прямой $MN$ равно $b=25$, а расстояние от точки $C$ до прямой $KL$ равно $c=29$.

Пусть $M'$ — основание перпендикуляра, опущенного из точки $C$ на прямую $MN$, а $K'$ — основание перпендикуляра, опущенного из точки $C$ на прямую $KL$. Тогда по определению расстояния от точки до прямой, $CM' = b = 25$ и $CK' = c = 29$. Отрезки $CM'$ и $CK'$ являются наклонными к плоскости $δ$, а отрезки $HM'$ и $HK'$ — их проекциями на эту плоскость.

Поскольку $CH \perp δ$, то треугольники $\triangle CHM'$ и $\triangle CHK'$ являются прямоугольными с прямым углом при вершине $H$. По теореме Пифагора для этих треугольников можно записать:
$CH^2 + HM'^2 = CM'^2 \implies h^2 + HM'^2 = b^2 = 25^2 = 625$
$CH^2 + HK'^2 = CK'^2 \implies h^2 + HK'^2 = c^2 = 29^2 = 841$

По теореме о трёх перпендикулярах, так как наклонная $CM'$ перпендикулярна прямой $MN$, то и её проекция $HM'$ перпендикулярна прямой $MN$. Аналогично, так как $CK' \perp KL$, то и $HK' \perp KL$.

Поскольку прямые $MN$ и $KL$ параллельны, а отрезки $HM'$ и $HK'$ перпендикулярны им, то точки $H, M', K'$ лежат на одной прямой в плоскости $δ$. Расстояние между параллельными прямыми $MN$ и $KL$ равно $a=6$, следовательно, длина отрезка $M'K'$ также равна $a=6$.

Из системы уравнений для $h$ вычтем первое уравнение из второго:
$(h^2 + HK'^2) - (h^2 + HM'^2) = 841 - 625$
$HK'^2 - HM'^2 = 216$
Используя формулу разности квадратов, получаем:
$(HK' - HM')(HK' + HM') = 216$

Так как точки $H, M', K'$ лежат на одной прямой и $M'K' = 6$, возможны два случая:
1. Точка $H$ лежит между точками $M'$ и $K'$. В этом случае $HM' + HK' = M'K' = 6$.
2. Точка $H$ лежит вне отрезка $M'K'$. В этом случае $|HM' - HK'| = M'K' = 6$.

Рассмотрим первый случай: $HM' + HK' = 6$. Подставим это в уравнение $(HK' - HM')(HK' + HM') = 216$:
$(HK' - HM') \cdot 6 = 216 \implies HK' - HM' = 36$.
Получаем систему:$\begin{cases} HK' + HM' = 6 \\ HK' - HM' = 36 \end{cases}$
Сложив уравнения, имеем $2HK' = 42$, откуда $HK' = 21$. Тогда $HM' = 6 - 21 = -15$. Длина отрезка не может быть отрицательной, значит, этот случай невозможен.

Рассмотрим второй случай: $|HM' - HK'| = 6$. Так как $c>b$ ($29>25$), то и наклонная $CK'$ длиннее наклонной $CM'$. Из уравнений Пифагора следует, что и проекция $HK'$ длиннее проекции $HM'$. Таким образом, $HK' > HM'$, и мы можем записать $HK' - HM' = 6$.
Подставим это в уравнение $(HK' - HM')(HK' + HM') = 216$:
$6 \cdot (HK' + HM') = 216 \implies HK' + HM' = 36$.
Получаем систему:$\begin{cases} HK' - HM' = 6 \\ HK' + HM' = 36 \end{cases}$
Сложив уравнения, имеем $2HK' = 42$, откуда $HK' = 21$. Тогда $HM' = 36 - 21 = 15$. Оба значения положительны, следовательно, этот случай является верным.

Теперь, зная длины проекций, мы можем найти искомую высоту $h$ из любого из уравнений Пифагора. Возьмём первое:
$h^2 + HM'^2 = 625$
$h^2 + 15^2 = 625$
$h^2 + 225 = 625$
$h^2 = 625 - 225 = 400$
$h = \sqrt{400} = 20$

Ответ: 20