Номер 364, страница 133 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

364. Плоскости квадрата $KMNP$ и ромба $KMDF$ перпендикулярны. Найдите $FN$, учитывая, что сторона ромба и угол $KMD$ соответственно равны $a$ и $60^\circ$.

По условию задачи, `KMNP` — это квадрат, а `KMDF` — это ромб. У них есть общая сторона `KM`. Плоскости, в которых лежат эти фигуры, перпендикулярны.

Сторона ромба `KMDF` равна $a$, следовательно, все его стороны равны $a$: $KM = MD = DF = FK = a$. Поскольку `KMNP` — это квадрат с общей стороной `KM`, то и его стороны равны $a$: $KM = MN = NP = PK = a$. Угол ромба `∠KMD` равен $60°$.

Чтобы найти расстояние `FN` между точками `F` и `N`, которые лежат в разных плоскостях, мы можем использовать пространственную теорему Пифагора. Для этого опустим перпендикуляр `FH` из точки `F` на плоскость квадрата `(KMNP)`.

Так как плоскость ромба `(KMDF)` перпендикулярна плоскости квадрата `(KMNP)` и они пересекаются по прямой `KM`, то перпендикуляр, опущенный из любой точки плоскости ромба на плоскость квадрата, будет падать на линию их пересечения `KM`. Таким образом, точка `H` (основание перпендикуляра `FH`) лежит на прямой, содержащей отрезок `KM`.

В результате мы получаем прямоугольный треугольник `ΔFHN`, в котором `∠FHN = 90°` (поскольку `FH` перпендикулярна плоскости `(KMNP)`, а отрезок `HN` лежит в этой плоскости). По теореме Пифагора для этого треугольника: $FN^2 = FH^2 + HN^2$. Теперь нам нужно найти длины катетов `FH` и `HN`.

1. Найдём длину `FH`.

`FH` — это высота треугольника `ΔFKM`, опущенная из вершины `F` на прямую `KM`. В ромбе `KMDF` углы, прилежащие к одной стороне, в сумме дают $180°$. Следовательно, `∠FKM = 180° - ∠KMD = 180° - 60° = 120°`. Поскольку угол `∠FKM` тупой, основание высоты `H` будет лежать на продолжении стороны `KM` за точку `K`. Рассмотрим прямоугольный треугольник `ΔFKH`, где `∠FKH` — это угол, смежный с `∠FKM` на прямой, проходящей через `K` и `M`, поэтому `∠FKH = 180° - 120° = 60°`. В прямоугольном треугольнике `ΔFKH` (с гипотенузой `FK = a`):

• Катет `FH` равен: $FH = FK \cdot \sin(∠FKH) = a \cdot \sin(60°) = a \frac{\sqrt{3}}{2}$.
• Катет `KH` равен: $KH = FK \cdot \cos(∠FKH) = a \cdot \cos(60°) = a \frac{1}{2}$.

2. Найдём длину `HN`.

Точки `H`, `K`, `M`, `N` лежат в одной плоскости (плоскости квадрата). Точки `H`, `K`, `M` лежат на одной прямой, причем в порядке `H` — `K` — `M`. В квадрате `KMNP` сторона `MN` перпендикулярна стороне `KM`, т.е. `∠KMN = 90°`. Рассмотрим треугольник `ΔHMN` в плоскости квадрата. Он является прямоугольным, так как `∠HMN = ∠KMN = 90°`. Длины его катетов:

• `MN = a` (сторона квадрата).
• `HM = HK + KM = \frac{a}{2} + a = \frac{3a}{2}$.

По теореме Пифагора для `ΔHMN`: $HN^2 = HM^2 + MN^2 = (\frac{3a}{2})^2 + a^2 = \frac{9a^2}{4} + a^2 = \frac{9a^2 + 4a^2}{4} = \frac{13a^2}{4}$.

3. Найдём длину `FN`.

Теперь вернемся к нашему исходному прямоугольному треугольнику `ΔFHN` и подставим найденные значения квадратов катетов `FH^2` и `HN^2`: $FH^2 = (a \frac{\sqrt{3}}{2})^2 = \frac{3a^2}{4}$. $HN^2 = \frac{13a^2}{4}$.

$FN^2 = FH^2 + HN^2 = \frac{3a^2}{4} + \frac{13a^2}{4} = \frac{16a^2}{4} = 4a^2$.

Извлекая квадратный корень, получаем длину `FN`: $FN = \sqrt{4a^2} = 2a$.

Ответ: $2a$.