Номер 365, страница 133 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

365. Есть пирамида, в основании которой лежит правильный шестиугольник со стороной 6 см, а все боковые рёбра равны 12 см. Через середины двух смежных сторон основания проведена плоскость, перпендикулярная к нему. Найдите площадь сечения.

1. Введение и определение координат

Пусть дана правильная шестиугольная пирамида $S-ABCDEF$ с вершиной $S$. Основание $ABCDEF$ — правильный шестиугольник со стороной $a = 6$ см. Все боковые рёбра равны $l = 12$ см. Поскольку пирамида правильная, её высота $SO$ падает в центр $O$ основания.

Введём систему координат с началом в центре основания $O(0,0,0)$. Ось $Oz$ направим вдоль высоты $SO$. Основание лежит в плоскости $Oxy$. Координаты вершин основания можно найти, зная, что расстояние от центра до любой вершины в правильном шестиугольнике равно стороне, т.е. $R=a=6$.

Пусть вершина $B$ лежит на оси $Ox$. Тогда её координаты $B(6, 0, 0)$. Координаты смежных с ней вершин $A$ и $C$ будут:

$A(6 \cos(60^\circ), 6 \sin(60^\circ), 0) = (3, 3\sqrt{3}, 0)$

$C(6 \cos(-60^\circ), 6 \sin(-60^\circ), 0) = (3, -3\sqrt{3}, 0)$

Найдём высоту пирамиды $SO$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $SOB$. Гипотенуза $SB = l = 12$, катет $OB = R = 6$. По теореме Пифагора:

$SO^2 = SB^2 - OB^2 = 12^2 - 6^2 = 144 - 36 = 108$

$SO = \sqrt{108} = \sqrt{36 \cdot 3} = 6\sqrt{3}$ см.

Координаты вершины пирамиды $S(0, 0, 6\sqrt{3})$.

2. Определение секущей плоскости

Секущая плоскость проходит через середины двух смежных сторон основания, например, $AB$ и $BC$. Найдём координаты этих середин.

Пусть $M$ — середина $AB$. Координаты $M$:

$M\left(\frac{3+6}{2}, \frac{3\sqrt{3}+0}{2}, \frac{0+0}{2}\right) = (4.5, 1.5\sqrt{3}, 0)$

Пусть $N$ — середина $BC$. Координаты $N$:

$N\left(\frac{6+3}{2}, \frac{0-3\sqrt{3}}{2}, \frac{0+0}{2}\right) = (4.5, -1.5\sqrt{3}, 0)$

Плоскость сечения проходит через точки $M$ и $N$ и перпендикулярна плоскости основания ($Oxy$). Плоскость, перпендикулярная $Oxy$, имеет уравнение вида $Ax + By + D = 0$. Поскольку точки $M$ и $N$ лежат в этой плоскости, их координаты должны удовлетворять её уравнению. Обе точки имеют одинаковую координату $x = 4.5$. Это означает, что все точки на прямой $MN$ имеют $x=4.5$. Поскольку секущая плоскость перпендикулярна основанию и проходит через $M$ и $N$, ее уравнение — $x=4.5$.

3. Нахождение фигуры сечения

Фигура сечения — это многоугольник, образованный пересечением плоскости $x=4.5$ с гранями пирамиды.

Пересечение с основанием: Плоскость $x=4.5$ пересекает плоскость основания ($z=0$) по прямой $x=4.5$. Внутри шестиугольника эта прямая образует отрезок $MN$. Это нижнее основание сечения.

Пересечение с боковыми гранями: Плоскость $x=4.5$ пересекает грани $SAB$ и $SBC$.

Линия пересечения плоскости сечения с гранью $SAB$ проходит через точку $M$. Линия пересечения с гранью $SBC$ проходит через точку $N$. Эти две линии пересекутся на общем ребре $SB$. Найдём точку пересечения плоскости $x=4.5$ с ребром $SB$.

Ребро $SB$ проходит через точки $S(0, 0, 6\sqrt{3})$ и $B(6, 0, 0)$. Параметрическое уравнение прямой $SB$:

$P(t) = S + t \cdot \vec{SB} = (0, 0, 6\sqrt{3}) + t(6, 0, -6\sqrt{3}) = (6t, 0, 6\sqrt{3}(1-t))$

Найдём точку $K$ пересечения этой прямой с плоскостью $x=4.5$:

$6t = 4.5 \Rightarrow t = \frac{4.5}{6} = \frac{9}{12} = \frac{3}{4}$

Поскольку $0 < t < 1$, точка пересечения лежит на ребре $SB$. Подставим $t=3/4$ в уравнение прямой, чтобы найти координаты точки $K$:

$K\left(4.5, 0, 6\sqrt{3}\left(1-\frac{3}{4}\right)\right) = \left(4.5, 0, 6\sqrt{3} \cdot \frac{1}{4}\right) = \left(4.5, 0, \frac{3\sqrt{3}}{2}\right)$

Таким образом, сечением является треугольник $MNK$.

4. Вычисление площади сечения

Найдём площадь треугольника $MNK$. Все его вершины лежат в плоскости $x=4.5$. Мы можем рассматривать его как фигуру в 2D-системе координат $(y, z)$.

Координаты вершин в этой системе:

$M'(1.5\sqrt{3}, 0)$

$N'(-1.5\sqrt{3}, 0)$

$K'(0, \frac{3\sqrt{3}}{2})$

Основание треугольника $MN$ лежит на оси $y'$. Его длина:

$|MN| = 1.5\sqrt{3} - (-1.5\sqrt{3}) = 3\sqrt{3}$

Высота треугольника, проведённая из вершины $K$, равна $z$-координате точки $K$.

$h = \frac{3\sqrt{3}}{2}$

Площадь треугольника $MNK$ равна:

$S = \frac{1}{2} \cdot |MN| \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 3\sqrt{3} \cdot \frac{3\sqrt{3}}{2} = \frac{9 \cdot (\sqrt{3})^2}{4} = \frac{9 \cdot 3}{4} = \frac{27}{4} = 6.75$

Ответ: $S = \frac{27}{4}$ см$^2$ или $6.75$ см$^2$.