Номер 5, страница 134 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

5. Из центра $O$ окружности, вписанной в равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $BC$ и боковой стороной $AB$, соответственно равными 18 см и 15 см, возведён перпендикуляр $OX$, равный 6 см. Найдите расстояния от точки $X$ до сторон треугольника.

Для решения задачи необходимо найти расстояния от точки $X$ до сторон треугольника $BC$, $AB$ и $AC$. Эти расстояния являются длинами перпендикуляров, опущенных из точки $X$ на соответствующие стороны.

Пусть $O$ — центр вписанной окружности, а $r$ — ее радиус. По определению, точка $O$ равноудалена от всех сторон треугольника на расстояние $r$. Пусть $OK$, $OL$ и $OM$ — перпендикуляры, опущенные из точки $O$ на стороны $BC$, $AB$ и $AC$ соответственно. Тогда $OK = OL = OM = r$.

По условию, отрезок $OX$ перпендикулярен плоскости треугольника $ABC$, и его длина $OX=6$ см. Это означает, что $OX$ перпендикулярен любому отрезку, лежащему в плоскости треугольника и проходящему через $O$, в частности $OX \perp OK$, $OX \perp OL$ и $OX \perp OM$.

Согласно теореме о трех перпендикулярах, если проекция наклонной на плоскость перпендикулярна некоторой прямой в этой плоскости, то и сама наклонная перпендикулярна этой прямой. Следовательно, наклонные $XK$, $XL$ и $XM$ перпендикулярны сторонам $BC$, $AB$ и $AC$ соответственно. Их длины и являются искомыми расстояниями.

Длины этих наклонных можно найти из прямоугольных треугольников $XOK$, $XOL$ и $XOM$ по теореме Пифагора. Так как катет $OX$ общий, а катеты $OK$, $OL$ и $OM$ равны радиусу $r$, то и гипотенузы $XK$, $XL$ и $XM$ будут равны между собой:

$XK = XL = XM = \sqrt{OX^2 + r^2}$

Таким образом, задача сводится к нахождению радиуса $r$ вписанной окружности и последующему вычислению длины наклонной.

1. Нахождение радиуса вписанной окружности ($r$)

Дан равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $BC = 18$ см и боковыми сторонами $AB = AC = 15$ см.

Сначала найдем площадь треугольника $S_{ABC}$. Проведем высоту $AH$ к основанию $BC$. В равнобедренном треугольнике $AH$ также является медианой, поэтому $H$ — середина $BC$, и $BH = \frac{18}{2} = 9$ см. Из прямоугольного треугольника $ABH$ по теореме Пифагора:

$AH = \sqrt{AB^2 - BH^2} = \sqrt{15^2 - 9^2} = \sqrt{225 - 81} = \sqrt{144} = 12$ см.

Площадь треугольника: $S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot AH = \frac{1}{2} \cdot 18 \cdot 12 = 108$ см$^2$.

Теперь найдем полупериметр $p$:

$p = \frac{AB + AC + BC}{2} = \frac{15 + 15 + 18}{2} = \frac{48}{2} = 24$ см.

Радиус вписанной окружности $r$ найдем по формуле $S = p \cdot r$:

$r = \frac{S_{ABC}}{p} = \frac{108}{24} = 4.5$ см.

2. Нахождение расстояний от точки X до сторон треугольника

Теперь, зная радиус $r = 4.5$ см и длину перпендикуляра $OX = 6$ см, мы можем вычислить искомые расстояния от точки $X$ до каждой из сторон треугольника. Как мы установили ранее, эти расстояния равны:

Расстояние $= \sqrt{OX^2 + r^2} = \sqrt{6^2 + (4.5)^2} = \sqrt{36 + 20.25} = \sqrt{56.25} = 7.5$ см.

Ответ: Расстояние от точки X до каждой из сторон треугольника равно 7.5 см.