Номер 2, страница 134 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

2. Есть треугольная пирамида $SABC$, все рёбра которой равны друг другу. На рёбрах $SC$, $SB$, $CB$ отмечены середины $U, V, Y$ соответственно, а на ребре $SA$ — произвольная точка $X$. Определите, перпендикулярны ли прямые $SA$ и $UV$.

По условию, все рёбра треугольной пирамиды $SABC$ равны друг другу. Это означает, что пирамида является правильным тетраэдром, и все её грани — равносторонние треугольники.

Рассмотрим треугольник $SBC$. Точки $U$ и $V$ являются серединами рёбер $SC$ и $SB$ соответственно. Следовательно, отрезок $UV$ является средней линией треугольника $SBC$.

По свойству средней линии треугольника, она параллельна третьей стороне. Таким образом, прямая $UV$ параллельна прямой $BC$. Математически это записывается как $UV \parallel BC$.

Для того чтобы определить, перпендикулярны ли прямые $SA$ и $UV$, достаточно определить, перпендикулярны ли прямые $SA$ и $BC$, поскольку $UV \parallel BC$. Если $SA \perp BC$, то будет следовать, что $SA \perp UV$.

Прямые $SA$ и $BC$ являются скрещивающимися рёбрами в правильном тетраэдре. Докажем их перпендикулярность.

1. Пусть $M$ — середина ребра $BC$. Рассмотрим грань $ABC$. Так как треугольник $ABC$ равносторонний, его медиана $AM$ является одновременно и высотой. Следовательно, $AM \perp BC$.

2. Теперь рассмотрим грань $SBC$. Так как треугольник $SBC$ также равносторонний, его медиана $SM$ является и его высотой. Следовательно, $SM \perp BC$.

3. Прямые $AM$ и $SM$ пересекаются в точке $M$ и образуют плоскость $(SAM)$. Поскольку прямая $BC$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым ($AM$ и $SM$) в этой плоскости, по признаку перпендикулярности прямой и плоскости, прямая $BC$ перпендикулярна всей плоскости $(SAM)$.

4. Ребро $SA$ целиком лежит в плоскости $(SAM)$. Так как прямая $BC$ перпендикулярна плоскости $(SAM)$, она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости, включая прямую $SA$. Таким образом, мы доказали, что $SA \perp BC$.

Из того, что $SA \perp BC$ и $UV \parallel BC$, следует, что прямая $SA$ перпендикулярна прямой $UV$. Положение точки $X$ на ребре $SA$ и точки $Y$ на ребре $CB$ не влияет на взаимное расположение прямых $SA$ и $UV$.

Ответ: Да, прямые SA и UV перпендикулярны.