Номер 362, страница 133 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

362. В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ все рёбра равны $a$. Найдите расстояние между прямой $AB$ и прямой:

а) $B_1C_1$;

б) $B_1D_1$;

в) $A_1D_1$;

г) $C_1D_1$;

д) $F_1E_1$;

е) $D_1F_1$.

Введем правую декартову систему координат. Пусть центр нижнего основания $ABCDEF$ находится в начале координат $O(0,0,0)$. Ось $Oz$ направим вдоль бокового ребра $AA_1$. Ось $Ox$ проведем через вершину $A$. Так как призма правильная, в ее основании лежит правильный шестиугольник со стороной $a$. Высота призмы также равна $a$, поскольку все ребра равны $a$.

Координаты вершин нижнего основания ($z=0$):

• $A = (a, 0, 0)$
• $B = (a \cos(60^\circ), a \sin(60^\circ), 0) = (a/2, a\sqrt{3}/2, 0)$
• $C = (a \cos(120^\circ), a \sin(120^\circ), 0) = (-a/2, a\sqrt{3}/2, 0)$
• $D = (a \cos(180^\circ), a \sin(180^\circ), 0) = (-a, 0, 0)$
• $E = (a \cos(240^\circ), a \sin(240^\circ), 0) = (-a/2, -a\sqrt{3}/2, 0)$
• $F = (a \cos(300^\circ), a \sin(300^\circ), 0) = (a/2, -a\sqrt{3}/2, 0)$

Координаты вершин верхнего основания ($z=a$):

• $A_1 = (a, 0, a)$
• $B_1 = (a/2, a\sqrt{3}/2, a)$
• $C_1 = (-a/2, a\sqrt{3}/2, a)$
• $D_1 = (-a, 0, a)$
• $E_1 = (-a/2, -a\sqrt{3}/2, a)$
• $F_1 = (a/2, -a\sqrt{3}/2, a)$

Прямая $AB$ проходит через точку $A(a, 0, 0)$ и имеет направляющий вектор $\vec{v_1} = \vec{AB} = B - A = (a/2-a, a\sqrt{3}/2-0, 0-0) = (-a/2, a\sqrt{3}/2, 0)$.

Расстояние $d$ между двумя скрещивающимися прямыми, заданными точками $P_1$, $P_2$ и направляющими векторами $\vec{v_1}$, $\vec{v_2}$, вычисляется по формуле:

$d = \frac{|(\vec{P_2} - \vec{P_1}) \cdot (\vec{v_1} \times \vec{v_2})|}{|\vec{v_1} \times \vec{v_2}|}$

Общее замечание: Прямая $AB$ лежит в плоскости нижнего основания $z=0$. Все прямые в подпунктах а)-е) лежат в плоскости верхнего основания $z=a$. Эти плоскости параллельны, и расстояние между ними равно $a$. Направляющие векторы всех рассматриваемых прямых лежат в плоскости $xy$ (их $z$-координата равна нулю). Векторное произведение двух непараллельных векторов из плоскости $xy$ будет вектором, перпендикулярным этой плоскости, то есть параллельным оси $Oz$. Это означает, что общий перпендикуляр к прямой $AB$ и любой из заданных прямых (если они не параллельны) будет вертикальным. В таком случае расстояние между скрещивающимися прямыми равно расстоянию между параллельными плоскостями, в которых они лежат, то есть $a$. Так как ни одна из заданных прямых не параллельна прямой $AB$, расстояние в каждом случае будет равно $a$. Проверим это прямыми вычислениями.

а) $B_1C_1$

Прямая $B_1C_1$ проходит через точку $P_2 = B_1(a/2, a\sqrt{3}/2, a)$ с направляющим вектором $\vec{v_2} = \vec{B_1C_1} = C_1 - B_1 = (-a, 0, 0)$.

Вектор между точками на прямых: $\vec{P_2} - \vec{P_1} = B_1 - A = (-a/2, a\sqrt{3}/2, a)$.

Векторное произведение направляющих векторов:

$\vec{v_1} \times \vec{v_2} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -a/2 & a\sqrt{3}/2 & 0 \\ -a & 0 & 0 \end{vmatrix} = \mathbf{k}(0 - (-a)\frac{a\sqrt{3}}{2}) = (0, 0, \frac{a^2\sqrt{3}}{2})$

Модуль векторного произведения: $|\vec{v_1} \times \vec{v_2}| = \frac{a^2\sqrt{3}}{2}$.

Смешанное произведение:

$(\vec{P_2} - \vec{P_1}) \cdot (\vec{v_1} \times \vec{v_2}) = (-a/2, a\sqrt{3}/2, a) \cdot (0, 0, \frac{a^2\sqrt{3}}{2}) = a \cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{2} = \frac{a^3\sqrt{3}}{2}$

Расстояние: $d = \frac{|\frac{a^3\sqrt{3}}{2}|}{\frac{a^2\sqrt{3}}{2}} = a$.

Ответ: $a$

б) $B_1D_1$

Прямая $B_1D_1$ проходит через точку $P_2 = B_1(a/2, a\sqrt{3}/2, a)$ с направляющим вектором $\vec{v_2} = \vec{B_1D_1} = D_1 - B_1 = (-a-a/2, 0-a\sqrt{3}/2, a-a) = (-3a/2, -a\sqrt{3}/2, 0)$.

Вектор $\vec{P_2} - \vec{P_1} = (-a/2, a\sqrt{3}/2, a)$.

Векторное произведение:

$\vec{v_1} \times \vec{v_2} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -a/2 & a\sqrt{3}/2 & 0 \\ -3a/2 & -a\sqrt{3}/2 & 0 \end{vmatrix} = \mathbf{k}(\frac{-a}{2} \cdot \frac{-a\sqrt{3}}{2} - \frac{a\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{-3a}{2}) = \mathbf{k}(\frac{a^2\sqrt{3}}{4} + \frac{3a^2\sqrt{3}}{4}) = (0, 0, a^2\sqrt{3})$

Модуль: $|\vec{v_1} \times \vec{v_2}| = a^2\sqrt{3}$.

Смешанное произведение: $(\vec{P_2} - \vec{P_1}) \cdot (\vec{v_1} \times \vec{v_2}) = (-a/2, a\sqrt{3}/2, a) \cdot (0, 0, a^2\sqrt{3}) = a^3\sqrt{3}$.

Расстояние: $d = \frac{|a^3\sqrt{3}|}{a^2\sqrt{3}} = a$.

Ответ: $a$

в) $A_1D_1$

Прямая $A_1D_1$ проходит через точку $P_2 = A_1(a, 0, a)$ с направляющим вектором $\vec{v_2} = \vec{A_1D_1} = D_1 - A_1 = (-2a, 0, 0)$.

Вектор $\vec{P_2} - \vec{P_1} = A_1 - A = (0, 0, a)$.

Векторное произведение:

$\vec{v_1} \times \vec{v_2} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -a/2 & a\sqrt{3}/2 & 0 \\ -2a & 0 & 0 \end{vmatrix} = \mathbf{k}(0 - (-2a)\frac{a\sqrt{3}}{2}) = (0, 0, a^2\sqrt{3})$

Модуль: $|\vec{v_1} \times \vec{v_2}| = a^2\sqrt{3}$.

Смешанное произведение: $(\vec{P_2} - \vec{P_1}) \cdot (\vec{v_1} \times \vec{v_2}) = (0, 0, a) \cdot (0, 0, a^2\sqrt{3}) = a^3\sqrt{3}$.

Расстояние: $d = \frac{|a^3\sqrt{3}|}{a^2\sqrt{3}} = a$.

Ответ: $a$

г) $C_1D_1$

Прямая $C_1D_1$ проходит через точку $P_2 = C_1(-a/2, a\sqrt{3}/2, a)$ с направляющим вектором $\vec{v_2} = \vec{C_1D_1} = D_1 - C_1 = (-a - (-a/2), 0 - a\sqrt{3}/2, a-a) = (-a/2, -a\sqrt{3}/2, 0)$.

Вектор $\vec{P_2} - \vec{P_1} = C_1 - A = (-3a/2, a\sqrt{3}/2, a)$.

Векторное произведение:

$\vec{v_1} \times \vec{v_2} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -a/2 & a\sqrt{3}/2 & 0 \\ -a/2 & -a\sqrt{3}/2 & 0 \end{vmatrix} = \mathbf{k}(\frac{-a}{2} \cdot \frac{-a\sqrt{3}}{2} - \frac{a\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{-a}{2}) = \mathbf{k}(\frac{a^2\sqrt{3}}{4} + \frac{a^2\sqrt{3}}{4}) = (0, 0, \frac{a^2\sqrt{3}}{2})$

Модуль: $|\vec{v_1} \times \vec{v_2}| = \frac{a^2\sqrt{3}}{2}$.

Смешанное произведение: $(\vec{P_2} - \vec{P_1}) \cdot (\vec{v_1} \times \vec{v_2}) = (-3a/2, a\sqrt{3}/2, a) \cdot (0, 0, \frac{a^2\sqrt{3}}{2}) = \frac{a^3\sqrt{3}}{2}$.

Расстояние: $d = \frac{|\frac{a^3\sqrt{3}}{2}|}{\frac{a^2\sqrt{3}}{2}} = a$.

Ответ: $a$

д) $F_1E_1$

Прямая $F_1E_1$ проходит через точку $P_2 = F_1(a/2, -a\sqrt{3}/2, a)$ с направляющим вектором $\vec{v_2} = \vec{F_1E_1} = E_1 - F_1 = (-a, 0, 0)$.

Вектор $\vec{P_2} - \vec{P_1} = F_1 - A = (-a/2, -a\sqrt{3}/2, a)$.

Векторное произведение (аналогично случаю а), т.к. $\vec{F_1E_1} || \vec{B_1C_1}$):

$\vec{v_1} \times \vec{v_2} = (0, 0, \frac{a^2\sqrt{3}}{2})$

Модуль: $|\vec{v_1} \times \vec{v_2}| = \frac{a^2\sqrt{3}}{2}$.

Смешанное произведение: $(\vec{P_2} - \vec{P_1}) \cdot (\vec{v_1} \times \vec{v_2}) = (-a/2, -a\sqrt{3}/2, a) \cdot (0, 0, \frac{a^2\sqrt{3}}{2}) = \frac{a^3\sqrt{3}}{2}$.

Расстояние: $d = \frac{|\frac{a^3\sqrt{3}}{2}|}{\frac{a^2\sqrt{3}}{2}} = a$.

Ответ: $a$

e) $D_1F_1$

Прямая $D_1F_1$ проходит через точку $P_2 = D_1(-a, 0, a)$ с направляющим вектором $\vec{v_2} = \vec{D_1F_1} = F_1 - D_1 = (a/2 - (-a), -a\sqrt{3}/2 - 0, a-a) = (3a/2, -a\sqrt{3}/2, 0)$.

Вектор $\vec{P_2} - \vec{P_1} = D_1 - A = (-2a, 0, a)$.

Векторное произведение:

$\vec{v_1} \times \vec{v_2} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -a/2 & a\sqrt{3}/2 & 0 \\ 3a/2 & -a\sqrt{3}/2 & 0 \end{vmatrix} = \mathbf{k}(\frac{-a}{2} \cdot \frac{-a\sqrt{3}}{2} - \frac{a\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{3a}{2}) = \mathbf{k}(\frac{a^2\sqrt{3}}{4} - \frac{3a^2\sqrt{3}}{4}) = (0, 0, -\frac{a^2\sqrt{3}}{2})$

Модуль: $|\vec{v_1} \times \vec{v_2}| = \frac{a^2\sqrt{3}}{2}$.

Смешанное произведение: $(\vec{P_2} - \vec{P_1}) \cdot (\vec{v_1} \times \vec{v_2}) = (-2a, 0, a) \cdot (0, 0, -\frac{a^2\sqrt{3}}{2}) = -\frac{a^3\sqrt{3}}{2}$.

Расстояние: $d = \frac{|-\frac{a^3\sqrt{3}}{2}|}{\frac{a^2\sqrt{3}}{2}} = a$.

Ответ: $a$