Номер 355, страница 133 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

355. В правильной шестиугольной призме $ABCDEF A_1B_1C_1D_1E_1F_1$ все рёбра равны $a$. Найдите угол между прямой $AB$ и прямой:

а) $B_1C_1$;

б) $B_1D_1$;

в) $A_1D_1$;

г) $C_1D_1$;

д) $F_1E_1$;

е) $D_1F_1$.

Для решения задачи введем декартову систему координат. Поместим начало координат $O$ в центр нижнего основания призмы $ABCDEF$. Ось $Oz$ направим вдоль высоты призмы. Основание $ABCDEF$ расположим в плоскости $Oxy$. Так как призма правильная, ее основание — правильный шестиугольник. В правильном шестиугольнике со стороной $a$ радиус описанной окружности также равен $a$. Расположим вершину $A$ на положительной части оси $Ox$.

Тогда координаты вершин призмы будут следующими:

• $A(a, 0, 0)$
• $B(a \cos(60^\circ), a \sin(60^\circ), 0) = (a/2, a\sqrt{3}/2, 0)$
• $C(a \cos(120^\circ), a \sin(120^\circ), 0) = (-a/2, a\sqrt{3}/2, 0)$
• $D(a \cos(180^\circ), a \sin(180^\circ), 0) = (-a, 0, 0)$
• $E(a \cos(240^\circ), a \sin(240^\circ), 0) = (-a/2, -a\sqrt{3}/2, 0)$
• $F(a \cos(300^\circ), a \sin(300^\circ), 0) = (a/2, -a\sqrt{3}/2, 0)$

Поскольку все ребра призмы равны $a$, ее высота также равна $a$. Координаты вершин верхнего основания получаются добавлением $a$ к $z$-координате соответствующих вершин нижнего основания:

• $A_1(a, 0, a)$
• $B_1(a/2, a\sqrt{3}/2, a)$
• $C_1(-a/2, a\sqrt{3}/2, a)$
• $D_1(-a, 0, a)$
• $E_1(-a/2, -a\sqrt{3}/2, a)$
• $F_1(a/2, -a\sqrt{3}/2, a)$

Найдем направляющий вектор для прямой $AB$:

$\vec{u} = \vec{AB} = B - A = (a/2 - a, a\sqrt{3}/2 - 0, 0 - 0) = (-a/2, a\sqrt{3}/2, 0)$.

Длина этого вектора: $|\vec{u}| = \sqrt{(-a/2)^2 + (a\sqrt{3}/2)^2} = \sqrt{a^2/4 + 3a^2/4} = a$.

Угол $\alpha$ между двумя прямыми с направляющими векторами $\vec{v}_1$ и $\vec{v}_2$ находится по формуле: $\cos \alpha = \frac{|\vec{v}_1 \cdot \vec{v}_2|}{|\vec{v}_1| \cdot |\vec{v}_2|}$.

Направляющий вектор прямой $B_1C_1$: $\vec{v}_a = \vec{B_1C_1} = C_1 - B_1 = (-a/2 - a/2, a\sqrt{3}/2 - a\sqrt{3}/2, a - a) = (-a, 0, 0)$.

Длина вектора: $|\vec{v}_a| = \sqrt{(-a)^2 + 0^2 + 0^2} = a$.

Косинус угла $\alpha_a$ между $AB$ и $B_1C_1$:

$\cos \alpha_a = \frac{|\vec{u} \cdot \vec{v}_a|}{|\vec{u}| \cdot |\vec{v}_a|} = \frac{|(-a/2)(-a) + (a\sqrt{3}/2)(0) + (0)(0)|}{a \cdot a} = \frac{a^2/2}{a^2} = \frac{1}{2}$.

Следовательно, угол $\alpha_a = \arccos(1/2) = 60^\circ$.

Ответ: $60^\circ$.

Направляющий вектор прямой $B_1D_1$: $\vec{v}_б = \vec{B_1D_1} = D_1 - B_1 = (-a - a/2, 0 - a\sqrt{3}/2, a - a) = (-3a/2, -a\sqrt{3}/2, 0)$.

Длина вектора: $|\vec{v}_б| = \sqrt{(-3a/2)^2 + (-a\sqrt{3}/2)^2} = \sqrt{9a^2/4 + 3a^2/4} = \sqrt{3a^2} = a\sqrt{3}$.

Косинус угла $\alpha_б$ между $AB$ и $B_1D_1$:

$\cos \alpha_б = \frac{|\vec{u} \cdot \vec{v}_б|}{|\vec{u}| \cdot |\vec{v}_б|} = \frac{|(-a/2)(-3a/2) + (a\sqrt{3}/2)(-a\sqrt{3}/2)|}{a \cdot a\sqrt{3}} = \frac{|3a^2/4 - 3a^2/4|}{a^2\sqrt{3}} = \frac{0}{a^2\sqrt{3}} = 0$.

Следовательно, угол $\alpha_б = \arccos(0) = 90^\circ$.

Ответ: $90^\circ$.

Направляющий вектор прямой $A_1D_1$: $\vec{v}_в = \vec{A_1D_1} = D_1 - A_1 = (-a - a, 0 - 0, a - a) = (-2a, 0, 0)$.

Длина вектора: $|\vec{v}_в| = \sqrt{(-2a)^2} = 2a$.

Косинус угла $\alpha_в$ между $AB$ и $A_1D_1$:

$\cos \alpha_в = \frac{|\vec{u} \cdot \vec{v}_в|}{|\vec{u}| \cdot |\vec{v}_в|} = \frac{|(-a/2)(-2a) + (a\sqrt{3}/2)(0)|}{a \cdot 2a} = \frac{|a^2|}{2a^2} = \frac{1}{2}$.

Следовательно, угол $\alpha_в = \arccos(1/2) = 60^\circ$.

Ответ: $60^\circ$.

Направляющий вектор прямой $C_1D_1$: $\vec{v}_г = \vec{C_1D_1} = D_1 - C_1 = (-a - (-a/2), 0 - a\sqrt{3}/2, a - a) = (-a/2, -a\sqrt{3}/2, 0)$.

Длина вектора: $|\vec{v}_г| = \sqrt{(-a/2)^2 + (-a\sqrt{3}/2)^2} = \sqrt{a^2/4 + 3a^2/4} = a$.

Косинус угла $\alpha_г$ между $AB$ и $C_1D_1$:

$\cos \alpha_г = \frac{|\vec{u} \cdot \vec{v}_г|}{|\vec{u}| \cdot |\vec{v}_г|} = \frac{|(-a/2)(-a/2) + (a\sqrt{3}/2)(-a\sqrt{3}/2)|}{a \cdot a} = \frac{|a^2/4 - 3a^2/4|}{a^2} = \frac{|-a^2/2|}{a^2} = \frac{1}{2}$.

Следовательно, угол $\alpha_г = \arccos(1/2) = 60^\circ$.

Ответ: $60^\circ$.

Направляющий вектор прямой $F_1E_1$: $\vec{v}_д = \vec{F_1E_1} = E_1 - F_1 = (-a/2 - a/2, -a\sqrt{3}/2 - (-a\sqrt{3}/2), a - a) = (-a, 0, 0)$.

Длина вектора: $|\vec{v}_д| = \sqrt{(-a)^2} = a$.

Косинус угла $\alpha_д$ между $AB$ и $F_1E_1$:

$\cos \alpha_д = \frac{|\vec{u} \cdot \vec{v}_д|}{|\vec{u}| \cdot |\vec{v}_д|} = \frac{|(-a/2)(-a) + (a\sqrt{3}/2)(0)|}{a \cdot a} = \frac{a^2/2}{a^2} = \frac{1}{2}$.

Следовательно, угол $\alpha_д = \arccos(1/2) = 60^\circ$.

Ответ: $60^\circ$.

Направляющий вектор прямой $D_1F_1$: $\vec{v}_е = \vec{D_1F_1} = F_1 - D_1 = (a/2 - (-a), -a\sqrt{3}/2 - 0, a - a) = (3a/2, -a\sqrt{3}/2, 0)$.

Длина вектора: $|\vec{v}_е| = \sqrt{(3a/2)^2 + (-a\sqrt{3}/2)^2} = \sqrt{9a^2/4 + 3a^2/4} = \sqrt{3a^2} = a\sqrt{3}$.

Косинус угла $\alpha_е$ между $AB$ и $D_1F_1$:

$\cos \alpha_е = \frac{|\vec{u} \cdot \vec{v}_е|}{|\vec{u}| \cdot |\vec{v}_е|} = \frac{|(-a/2)(3a/2) + (a\sqrt{3}/2)(-a\sqrt{3}/2)|}{a \cdot a\sqrt{3}} = \frac{|-3a^2/4 - 3a^2/4|}{a^2\sqrt{3}} = \frac{|-3a^2/2|}{a^2\sqrt{3}} = \frac{3a^2/2}{a^2\sqrt{3}} = \frac{3}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Следовательно, угол $\alpha_е = \arccos(\sqrt{3}/2) = 30^\circ$.

Ответ: $30^\circ$.