Номер 350, страница 132 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

350. В каком случае через одну из двух скрещивающихся прямых можно провести плоскость, перпендикулярную другую прямой?

Пусть даны две скрещивающиеся прямые $a$ и $b$. Плоскость, проходящую через одну из этих прямых и перпендикулярную другой, можно провести тогда и только тогда, когда эти прямые взаимно перпендикулярны. Докажем это утверждение, рассмотрев необходимость и достаточность этого условия.

Необходимость.
Предположим, что существует плоскость $\alpha$, такая что она проходит через прямую $a$ ($a \subset \alpha$) и перпендикулярна прямой $b$ ($\alpha \perp b$).
Согласно определению перпендикулярности прямой и плоскости, если прямая перпендикулярна плоскости, то она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости.
Поскольку прямая $a$ лежит в плоскости $\alpha$, то из этого следует, что прямая $b$ должна быть перпендикулярна прямой $a$.
Таким образом, условие $a \perp b$ является необходимым.

Достаточность.
Теперь предположим, что скрещивающиеся прямые $a$ и $b$ взаимно перпендикулярны ($a \perp b$). Докажем, что искомая плоскость $\alpha$ существует.
Для этого выполним следующее построение:
1. Выберем на прямой $a$ произвольную точку $M$.
2. Через точку $M$ проведём плоскость $\alpha$, перпендикулярную прямой $b$. По аксиоме стереометрии, такая плоскость существует и она единственна.
Теперь нам нужно доказать, что построенная плоскость $\alpha$ содержит всю прямую $a$.
Прямая лежит в плоскости, если она проходит через точку этой плоскости и перпендикулярна нормали к плоскости.
- По построению, плоскость $\alpha$ проходит через точку $M$, которая принадлежит прямой $a$. - Так как плоскость $\alpha$ перпендикулярна прямой $b$, прямая $b$ является нормалью к плоскости $\alpha$. - По нашему исходному условию, прямые $a$ и $b$ перпендикулярны ($a \perp b$). Это означает, что прямая $a$ перпендикулярна нормали к плоскости $\alpha$.
Поскольку оба условия выполняются (плоскость содержит точку прямой, и прямая перпендикулярна нормали к плоскости), вся прямая $a$ лежит в плоскости $\alpha$.
Таким образом, мы доказали, что если скрещивающиеся прямые перпендикулярны, то искомая плоскость существует.

Ответ: Через одну из двух скрещивающихся прямых можно провести плоскость, перпендикулярную другой прямой, в том и только в том случае, если эти прямые взаимно перпендикулярны.