Номер 349, страница 132 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

349. Два равных круга имеют единственную общую точку $A$, через которую проходят диаметры $AB$ и $AC$ этих кругов, причём эти диаметры не лежат на одной прямой. Определите, перпендикулярна ли плоскости $ABC$ линия пересечения плоскостей, в которых лежат данные круги. Изменится ли вывод, если круги не будут равными?

Пусть первый круг с диаметром $AB$ лежит в плоскости $\pi_1$, а второй круг с диаметром $AC$ — в плоскости $\pi_2$. По условию, круги имеют единственную общую точку $A$. Это означает, что они касаются друг друга в этой точке.

Линия пересечения плоскостей $\pi_1$ и $\pi_2$ — это некоторая прямая, обозначим ее $l$. Так как точка $A$ принадлежит обоим кругам, она принадлежит и обеим плоскостям. Следовательно, точка $A$ лежит на линии их пересечения, то есть $A \in l$.

Поскольку круги касаются в точке $A$, они имеют общую касательную прямую в этой точке. Обозначим эту прямую $t$. По определению, касательная к окружности в данной точке лежит в плоскости этой окружности. Таким образом, прямая $t$ лежит как в плоскости $\pi_1$, так и в плоскости $\pi_2$. Это означает, что прямая $t$ является линией пересечения этих плоскостей, то есть $l = t$.

Рассмотрим первый круг. Диаметр $AB$ проходит через точку касания $A$. В геометрии известно свойство: радиус (а следовательно, и диаметр), проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной. Отсюда следует, что $AB \perp t$.

Аналогично, для второго круга диаметр $AC$ перпендикулярен общей касательной $t$ в точке $A$, то есть $AC \perp t$.

Из условия задачи известно, что диаметры $AB$ и $AC$ не лежат на одной прямой. Значит, $AB$ и $AC$ — это две различные прямые, пересекающиеся в точке $A$. Эти две пересекающиеся прямые однозначно определяют плоскость, которой они принадлежат — плоскость $ABC$.

Таким образом, мы установили, что линия пересечения плоскостей $l$ (которая совпадает с общей касательной $t$) перпендикулярна двум пересекающимся прямым ($AB$ и $AC$) в плоскости $ABC$. Согласно признаку перпендикулярности прямой и плоскости, если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна и самой плоскости. Следовательно, линия $l$ перпендикулярна плоскости $ABC$.

Ответ: Да, линия пересечения плоскостей, в которых лежат данные круги, перпендикулярна плоскости $ABC$.

Проанализируем проведенное выше доказательство. Условие равенства кругов означает равенство их радиусов и, как следствие, диаметров: $AB = AC$. В этом случае треугольник $ABC$ был бы равнобедренным.

Однако для доказательства перпендикулярности мы использовали следующие ключевые утверждения:

• Факт касания кругов в точке $A$, так как у них единственная общая точка.
• Существование общей касательной $t$, которая и является линией пересечения плоскостей.
• Свойство перпендикулярности диаметра и касательной в точке касания ($AB \perp t$ и $AC \perp t$).
• Тот факт, что не коллинеарные прямые $AB$ и $AC$ определяют плоскость $ABC$.

Ни одно из этих утверждений не зависит от величины радиусов кругов. Свойство перпендикулярности диаметра и касательной является фундаментальным для любой окружности. Все остальные шаги доказательства также остаются в силе независимо от того, равны круги или нет.

Следовательно, вывод, сделанный в первой части задачи, не изменится.

Ответ: Нет, вывод не изменится. Линия пересечения плоскостей будет перпендикулярна плоскости $ABC$ и в том случае, если круги не будут равными.