Номер 344, страница 130 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

344. Отрезок длиной $a$ с концами на двух перпендикулярных плоскостях образует с одной из них угол в $45^{\circ}$, а с другой — угол в $30^{\circ}$ (рис. 327). Найдите часть линии пересечения плоскостей, заключённую между перпендикулярами, опущенными на неё из концов отрезка.

Рис. 327

Пусть $\alpha$ и $\beta$ — две данные перпендикулярные плоскости, а $l$ — линия их пересечения. Обозначим данный отрезок как $AB$, где точка $A$ лежит в плоскости $\alpha$, а точка $B$ — в плоскости $\beta$. Длина отрезка $|AB| = a$. Угол между отрезком $AB$ и плоскостью $\alpha$ равен $45^\circ$. Угол между отрезком $AB$ и плоскостью $\beta$ равен $30^\circ$.

Требуется найти длину отрезка на линии пересечения $l$, заключенного между основаниями перпендикуляров, опущенных из точек $A$ и $B$ на эту линию. Пусть $A_1$ и $B_1$ — основания этих перпендикуляров, то есть $A_1 \in l$, $AA_1 \perp l$ и $B_1 \in l$, $BB_1 \perp l$. Искомая длина — это $|A_1B_1|$.

Рассмотрим проекцию отрезка $AB$ на плоскость $\beta$. Так как точка $B$ уже лежит в плоскости $\beta$, нам нужно найти проекцию точки $A$ на эту плоскость. Обозначим её $A'$. По определению, $AA' \perp \beta$. Поскольку $A \in \alpha$ и $\alpha \perp \beta$, то перпендикуляр $AA'$ должен лежать в плоскости $\alpha$. Следовательно, точка $A'$ принадлежит и плоскости $\alpha$, и плоскости $\beta$, а значит, лежит на линии их пересечения $l$. Так как $AA' \perp \beta$, то $AA'$ перпендикулярен любой прямой в $\beta$, проходящей через $A'$, в том числе и прямой $l$. Таким образом, точка $A'$ совпадает с основанием перпендикуляра $A_1$ из точки $A$ на прямую $l$.

Проекцией отрезка $AB$ на плоскость $\beta$ является отрезок $A_1B$. Угол между отрезком и его проекцией на плоскость — это и есть угол между отрезком и плоскостью. Таким образом, угол между $AB$ и плоскостью $\beta$ — это угол $\angle ABA_1$, и он равен $30^\circ$. Треугольник $\triangle AA_1B$ является прямоугольным, так как $AA_1 \perp \beta$, а значит $AA_1 \perp A_1B$. В этом треугольнике катет $AA_1$ и гипотенуза $AB$ связаны соотношением $\sin(\angle ABA_1) = \frac{|AA_1|}{|AB|}$, а катет $A_1B$ и гипотенуза $AB$ — соотношением $\cos(\angle ABA_1) = \frac{|A_1B|}{|AB|}$. Отсюда находим длину проекции $A_1B$:
$|A_1B| = |AB| \cos(30^\circ) = a \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$

Аналогично рассмотрим проекцию отрезка $AB$ на плоскость $\alpha$. Точка $A$ лежит в $\alpha$. Проекция точки $B$ на плоскость $\alpha$ — это точка $B'$, такая что $BB' \perp \alpha$. Поскольку $B \in \beta$ и $\alpha \perp \beta$, перпендикуляр $BB'$ лежит в плоскости $\beta$. Значит, точка $B'$ лежит на линии пересечения $l$. Так как $BB' \perp \alpha$, то $BB' \perp l$. Следовательно, точка $B'$ совпадает с основанием перпендикуляра $B_1$ из точки $B$ на прямую $l$.

Проекцией отрезка $AB$ на плоскость $\alpha$ является отрезок $AB_1$. Угол между $AB$ и плоскостью $\alpha$ — это угол $\angle BAB_1$, и он равен $45^\circ$. Треугольник $\triangle AB_1B$ является прямоугольным ($\angle AB_1B = 90^\circ$, так как $BB_1 \perp \alpha$). Из этого треугольника найдем длину перпендикуляра $BB_1$:
$|BB_1| = |AB| \sin(45^\circ) = a \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$

Теперь рассмотрим треугольник $\triangle A_1B_1B$. Точки $A_1$, $B_1$ и прямая $l$ лежат в плоскости $\beta$. Точка $B$ также лежит в плоскости $\beta$. Значит, весь треугольник $\triangle A_1B_1B$ лежит в плоскости $\beta$. Так как $B_1$ — это основание перпендикуляра из точки $B$ на прямую $l$, то $BB_1 \perp l$, а значит $\angle BB_1A_1 = 90^\circ$. Таким образом, $\triangle A_1B_1B$ — прямоугольный треугольник с катетами $A_1B_1$ и $BB_1$ и гипотенузой $A_1B$. Используя теорему Пифагора $|A_1B|^2 = |A_1B_1|^2 + |BB_1|^2$, выразим искомую длину $|A_1B_1|$:$|A_1B_1|^2 = |A_1B|^2 - |BB_1|^2$

Подставим найденные ранее значения:$|A_1B_1|^2 = \left(a \frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 - \left(a \frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 = \frac{3a^2}{4} - \frac{2a^2}{4} = \frac{a^2}{4}$

Отсюда находим длину отрезка $A_1B_1$:$|A_1B_1| = \sqrt{\frac{a^2}{4}} = \frac{a}{2}$

Ответ: $\frac{a}{2}$