Номер 342, страница 130 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

342. Прямая $a$ не перпендикулярна плоскости $\alpha$. Докажите, что существует плоскость, которая содержит прямую $a$ и перпендикулярна плоскости $\alpha$.

Пусть даны прямая $a$ и плоскость $\alpha$, причем прямая $a$ не перпендикулярна плоскости $\alpha$ ($a \not\perp \alpha$). Требуется доказать, что существует плоскость $\beta$, которая удовлетворяет двум условиям:
1) Плоскость $\beta$ содержит прямую $a$ ($a \subset \beta$).
2) Плоскость $\beta$ перпендикулярна плоскости $\alpha$ ($\beta \perp \alpha$).

Доказательство:

1. Выберем на прямой $a$ произвольную точку $M$.

2. Через точку $M$ проведем прямую $b$, перпендикулярную плоскости $\alpha$. Согласно теореме о существовании и единственности прямой, перпендикулярной к плоскости и проходящей через данную точку, такая прямая $b$ существует и она единственна. Таким образом, мы имеем: $M \in b$ и $b \perp \alpha$.

3. Сравним прямые $a$ и $b$. По условию задачи, прямая $a$ не перпендикулярна плоскости $\alpha$. По построению, прямая $b$ перпендикулярна плоскости $\alpha$. Так как из точки $M$ можно провести только одну прямую, перпендикулярную плоскости $\alpha$, а прямая $a$ таковой не является, то прямые $a$ и $b$ не совпадают ($a \neq b$).

4. Прямые $a$ и $b$ имеют общую точку $M$, следовательно, они являются пересекающимися. Согласно аксиоме стереометрии, через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и притом только одна. Назовем эту плоскость $\beta$.

5. Так как плоскость $\beta$ определена прямыми $a$ и $b$, она содержит обе эти прямые. В частности, прямая $a$ лежит в плоскости $\beta$ ($a \subset \beta$). Первое условие выполнено.

6. Рассмотрим, перпендикулярна ли плоскость $\beta$ плоскости $\alpha$. Плоскость $\beta$ проходит через прямую $b$. Прямая $b$ по построению перпендикулярна плоскости $\alpha$. Согласно признаку перпендикулярности двух плоскостей (если одна плоскость проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то такие плоскости перпендикулярны), плоскость $\beta$ перпендикулярна плоскости $\alpha$ ($\beta \perp \alpha$). Второе условие также выполнено.

Таким образом, мы доказали существование плоскости $\beta$, которая содержит прямую $a$ и перпендикулярна плоскости $\alpha$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Искомая плоскость существует, она является единственной и определяется прямой $a$ и перпендикуляром, проведенным из любой точки прямой $a$ к плоскости $\alpha$.