Номер 345, страница 130 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

345. Есть пирамида, в основании которой лежит правильный шестиугольник со стороной 12 дм, а все боковые рёбра равны 24 дм. Через середины двух смежных сторон основания проведена плоскость, перпендикулярная к нему. Найдите площадь сечения.

Пусть дана правильная шестиугольная пирамида $SABCDEF$, где $ABCDEF$ – правильный шестиугольник в основании, а $S$ – вершина пирамиды. По условию, сторона основания $a = 12$ дм, а все боковые рёбра равны $l = 24$ дм.

Так как все боковые рёбра пирамиды равны, а в основании лежит правильный многоугольник, то пирамида является правильной. Это означает, что её высота $SO$ проецируется в центр основания $O$.

1. Найдём высоту пирамиды $SO$.
Рассмотрим прямоугольный треугольник $SOA$. Катет $OA$ – это радиус описанной окружности правильного шестиугольника, который равен его стороне. Таким образом, $OA = a = 12$ дм. Гипотенуза $SA$ – это боковое ребро, $SA = l = 24$ дм. По теореме Пифагора:$SO^2 = SA^2 - OA^2$$SO^2 = 24^2 - 12^2 = 576 - 144 = 432$$SO = \sqrt{432} = \sqrt{144 \cdot 3} = 12\sqrt{3}$ дм. Высота пирамиды $H = SO = 12\sqrt{3}$ дм.

2. Определим положение и форму сечения.
Секущая плоскость проходит через середины двух смежных сторон основания, пусть это будут стороны $AF$ и $FE$. Обозначим их середины как $M$ и $N$ соответственно. Плоскость сечения перпендикулярна плоскости основания.

Для удобства введём систему координат с началом в центре основания $O(0, 0, 0)$. Высоту $SO$ направим вдоль оси $Oz$, тогда вершина $S$ будет иметь координаты $S(0, 0, 12\sqrt{3})$. Расположим основание в плоскости $xy$ так, чтобы общая вершина сторон $AF$ и $FE$, точка $F$, лежала на оси $Oy$. Координаты вершин основания:$F = (0, a, 0) = (0, 12, 0)$$A = (a\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{a}{2}, 0) = (6\sqrt{3}, 6, 0)$$E = (-a\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{a}{2}, 0) = (-6\sqrt{3}, 6, 0)$

Найдём координаты точек $M$ и $N$:$M$ – середина $AF$: $M = \left(\frac{0+6\sqrt{3}}{2}, \frac{12+6}{2}, \frac{0+0}{2}\right) = (3\sqrt{3}, 9, 0)$.$N$ – середина $FE$: $N = \left(\frac{0-6\sqrt{3}}{2}, \frac{12+6}{2}, \frac{0+0}{2}\right) = (-3\sqrt{3}, 9, 0)$.

Секущая плоскость проходит через точки $M$ и $N$ и перпендикулярна плоскости основания $z=0$. Линия $MN$ лежит в плоскости $z=0$ и определяется уравнением $y=9$. Так как секущая плоскость перпендикулярна плоскости $xy$, её уравнение будет иметь вид $y=const$. Следовательно, уравнение секущей плоскости – $y=9$.

3. Найдём вершины фигуры сечения.
Фигура сечения образуется пересечением плоскости $y=9$ с гранями пирамиды. Пересечение с основанием – это отрезок $MN$. Найдём точки пересечения плоскости $y=9$ с боковыми рёбрами.

• Ребро $SF$: $S(0, 0, 12\sqrt{3})$, $F(0, 12, 0)$. Любая точка на этом ребре имеет координату $x=0$. Плоскость $y=9$ пересекает ребро $SF$. Обозначим точку пересечения $P$. Из подобия треугольников в плоскости $yz$ получаем, что если координата $y$ точки $P$ равна 9, то её $z$ координата $z_P$ находится из пропорции: $\frac{z_P}{12-9} = \frac{H}{12} \Rightarrow z_P = \frac{3H}{12} = \frac{H}{4} = \frac{12\sqrt{3}}{4} = 3\sqrt{3}$. Таким образом, точка $P$ имеет координаты $(0, 9, 3\sqrt{3})$.
• Рёбра $SA$ и $SE$: Для ребра $SA$ с концами $S(0,0,H)$ и $A(6\sqrt{3}, 6, 0)$ координата $y$ меняется от 0 до 6. Для ребра $SE$ с концами $S(0,0,H)$ и $E(-6\sqrt{3}, 6, 0)$ координата $y$ также меняется от 0 до 6. Плоскость $y=9$ не пересекает эти рёбра. Аналогично, она не пересекает и другие боковые рёбра.

Следовательно, сечение является треугольником $MNP$.

4. Вычислим площадь сечения.
Сечение – это треугольник $MNP$ с вершинами:$M(3\sqrt{3}, 9, 0)$$N(-3\sqrt{3}, 9, 0)$$P(0, 9, 3\sqrt{3})$

Этот треугольник является равнобедренным, так как точка $P$ лежит на оси симметрии отрезка $MN$ в плоскости $y=9$. Основание треугольника – отрезок $MN$. Его длина:$|MN| = \sqrt{(-3\sqrt{3} - 3\sqrt{3})^2 + (9-9)^2 + (0-0)^2} = \sqrt{(-6\sqrt{3})^2} = 6\sqrt{3}$ дм.

Высота треугольника $h$ – это расстояние от точки $P$ до прямой $MN$. Так как отрезок $MN$ лежит в плоскости $z=0$, а точка $P$ имеет $z$-координату $3\sqrt{3}$, то высота треугольника, проведённая из вершины $P$, равна $z_P = 3\sqrt{3}$ дм.

Площадь сечения (треугольника $MNP$):$S_{сеч} = \frac{1}{2} \cdot |MN| \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 6\sqrt{3} \cdot 3\sqrt{3} = 3\sqrt{3} \cdot 3\sqrt{3} = 9 \cdot 3 = 27$ дм$^2$.

Ответ: $27$ дм$^2$.