Номер 351, страница 132 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

351. Точки $A, B, C, D$ являются серединами рёбер $TZ, XY, YZ, Y_1Z_1$ прямоугольного параллелепипеда $TXYZT_1X_1Y_1Z_1$, в основании которого лежит квадрат. Определите:

а) перпендикулярна ли прямая $YA$ плоскости сечения $XX_1DC$;

б) перпендикулярна ли прямая $TB$ плоскости $XX_1D$;

в) угол между прямыми $AY$ и $XD$.

Для решения задачи введем прямоугольную систему координат. Поместим начало координат в точку $T$, ось $Tx$ направим вдоль ребра $TX$, ось $Ty$ — вдоль ребра $TZ$, а ось $Tz$ — вдоль ребра $TT_1$. Поскольку в основании параллелепипеда лежит квадрат, примем длину его стороны равной $a$. Пусть высота параллелепипеда равна $h$. Тогда $TX = TZ = a$ и $TT_1 = h$.

В этой системе координат вершины параллелепипеда имеют следующие координаты:$T(0, 0, 0)$, $X(a, 0, 0)$, $Y(a, a, 0)$, $Z(0, a, 0)$,$T_1(0, 0, h)$, $X_1(a, 0, h)$, $Y_1(a, a, h)$, $Z_1(0, a, h)$.

Координаты точек $A$, $B$, $C$, $D$, являющихся серединами соответствующих рёбер:

• $A$ — середина ребра $TZ$: $A\left(\frac{0+0}{2}, \frac{0+a}{2}, \frac{0+0}{2}\right) = A\left(0, \frac{a}{2}, 0\right)$.
• $B$ — середина ребра $XY$: $B\left(\frac{a+a}{2}, \frac{0+a}{2}, \frac{0+0}{2}\right) = B\left(a, \frac{a}{2}, 0\right)$.
• $C$ — середина ребра $YZ$: $C\left(\frac{a+0}{2}, \frac{a+a}{2}, \frac{0+0}{2}\right) = C\left(\frac{a}{2}, a, 0\right)$.
• $D$ — середина ребра $Y_1Z_1$: $D\left(\frac{a+0}{2}, \frac{a+a}{2}, \frac{h+h}{2}\right) = D\left(\frac{a}{2}, a, h\right)$.

Прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в этой плоскости. Для проверки этого условия воспользуемся методом координат. Найдём вектор направления прямой $YA$.$\vec{YA} = A - Y = \left(0 - a; \frac{a}{2} - a; 0 - 0\right) = \left(-a; -\frac{a}{2}; 0\right)$.

Плоскость сечения $XX_1DC$ задается точками $X(a, 0, 0)$, $X_1(a, 0, h)$, $D(\frac{a}{2}, a, h)$, $C(\frac{a}{2}, a, 0)$. В качестве направляющих векторов плоскости можно взять векторы $\vec{XX_1}$ и $\vec{XC}$, которые не коллинеарны.$\vec{XX_1} = X_1 - X = (a-a; 0-0; h-0) = (0; 0; h)$.$\vec{XC} = C - X = \left(\frac{a}{2} - a; a - 0; 0 - 0\right) = \left(-\frac{a}{2}; a; 0\right)$.

Проверим перпендикулярность прямой $YA$ этим векторам, вычислив их скалярные произведения:$\vec{YA} \cdot \vec{XX_1} = (-a) \cdot 0 + \left(-\frac{a}{2}\right) \cdot 0 + 0 \cdot h = 0$.$\vec{YA} \cdot \vec{XC} = (-a) \cdot \left(-\frac{a}{2}\right) + \left(-\frac{a}{2}\right) \cdot a + 0 \cdot 0 = \frac{a^2}{2} - \frac{a^2}{2} = 0$.

Поскольку скалярные произведения равны нулю, вектор $\vec{YA}$ перпендикулярен векторам $\vec{XX_1}$ и $\vec{XC}$. Так как прямая $YA$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $XX_1$ и $XC$ в плоскости $XX_1DC$, то прямая $YA$ перпендикулярна этой плоскости.

Ответ: да, перпендикулярна.

Аналогично пункту (а), проверим перпендикулярность прямой $TB$ двум пересекающимся прямым в плоскости $XX_1D$. Найдём вектор направления прямой $TB$.$\vec{TB} = B - T = \left(a - 0; \frac{a}{2} - 0; 0 - 0\right) = \left(a; \frac{a}{2}; 0\right)$.

Плоскость $XX_1D$ проходит через точки $X(a, 0, 0)$, $X_1(a, 0, h)$, $D(\frac{a}{2}, a, h)$. В качестве направляющих векторов плоскости возьмём векторы $\vec{XX_1}$ и $\vec{XD}$.$\vec{XX_1} = (0; 0; h)$.$\vec{XD} = D - X = \left(\frac{a}{2} - a; a - 0; h - 0\right) = \left(-\frac{a}{2}; a; h\right)$.

Проверим перпендикулярность, вычислив скалярные произведения:$\vec{TB} \cdot \vec{XX_1} = a \cdot 0 + \frac{a}{2} \cdot 0 + 0 \cdot h = 0$.$\vec{TB} \cdot \vec{XD} = a \cdot \left(-\frac{a}{2}\right) + \frac{a}{2} \cdot a + 0 \cdot h = -\frac{a^2}{2} + \frac{a^2}{2} = 0$.

Так как прямая $TB$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $XX_1$ и $XD$ в плоскости $XX_1D$, то прямая $TB$ перпендикулярна этой плоскости.

Ответ: да, перпендикулярна.

Угол между двумя прямыми в пространстве находится как угол между их направляющими векторами. Косинус угла $\theta$ между векторами $\vec{u}$ и $\vec{v}$ вычисляется по формуле:$\cos\theta = \frac{|\vec{u} \cdot \vec{v}|}{|\vec{u}| \cdot |\vec{v}|}$.

Найдём направляющие векторы прямых $AY$ и $XD$.$\vec{AY} = Y - A = \left(a - 0; a - \frac{a}{2}; 0 - 0\right) = \left(a; \frac{a}{2}; 0\right)$.$\vec{XD} = D - X = \left(\frac{a}{2} - a; a - 0; h - 0\right) = \left(-\frac{a}{2}; a; h\right)$.

Вычислим скалярное произведение этих векторов:$\vec{AY} \cdot \vec{XD} = a \cdot \left(-\frac{a}{2}\right) + \frac{a}{2} \cdot a + 0 \cdot h = -\frac{a^2}{2} + \frac{a^2}{2} + 0 = 0$.

Поскольку скалярное произведение направляющих векторов равно нулю, векторы являются ортогональными (перпендикулярными). Следовательно, прямые $AY$ и $XD$ также перпендикулярны.

Ответ: $90^\circ$.