Номер 357, страница 133 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

357. Катет $AB$ прямоугольного треугольника $ABC$ лежит в плоскости $\gamma$.

Докажите, что плоскость, которая проходит через другой катет и его проекцию на плоскость $\gamma$, перпендикулярна прямой $AB$.

Пусть дан прямоугольный треугольник $ABC$, в котором $AB$ является катетом. Это означает, что прямой угол находится либо в вершине $B$, либо в вершине $A$. Рассмотрим случай, когда прямой угол находится в вершине $B$, то есть $\angle ABC = 90^\circ$. В этом случае катетами являются $AB$ и $BC$.

По условию, катет $AB$ лежит в плоскости $\gamma$. Это значит, что вся прямая $AB$ принадлежит плоскости $\gamma$, то есть $AB \subset \gamma$.

Другим катетом является $BC$. Найдем его проекцию на плоскость $\gamma$. Проекцией точки $B$ на плоскость $\gamma$ является сама точка $B$, так как $B \in \gamma$. Чтобы найти проекцию точки $C$, опустим из нее перпендикуляр $CH$ на плоскость $\gamma$. Точка $H$ будет проекцией точки $C$ на плоскость $\gamma$. Таким образом, отрезок $BH$ является проекцией катета $BC$ на плоскость $\gamma$.

Рассмотрим плоскость $\beta$, которая проходит через катет $BC$ и его проекцию $BH$. Эта плоскость определяется тремя точками $B$, $C$ и $H$, то есть $\beta = (BCH)$. Нам нужно доказать, что эта плоскость $\beta$ перпендикулярна прямой $AB$, то есть $AB \perp \beta$.

Для доказательства воспользуемся признаком перпендикулярности прямой и плоскости: прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в этой плоскости.

Найдем две такие прямые в плоскости $\beta$, перпендикулярные прямой $AB$.

1. По определению прямоугольного треугольника, катеты $AB$ и $BC$ перпендикулярны: $AB \perp BC$. Прямая $BC$ лежит в плоскости $\beta$ по построению.
2. Мы построили $CH$ как перпендикуляр к плоскости $\gamma$ ($CH \perp \gamma$). По определению прямой, перпендикулярной плоскости, она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости. Так как прямая $AB$ лежит в плоскости $\gamma$ ($AB \subset \gamma$), то $CH \perp AB$. Прямая $CH$ также лежит в плоскости $\beta$, так как проходит через точки $C$ и $H$.

Таким образом, прямая $AB$ перпендикулярна двум прямым — $BC$ и $CH$ — которые лежат в плоскости $\beta$. Эти прямые пересекаются в точке $C$.

Следовательно, по признаку перпендикулярности прямой и плоскости, прямая $AB$ перпендикулярна плоскости $\beta = (BCH)$.

Примечание: если бы прямой угол был в вершине $A$, то другим катетом был бы $AC$. Рассуждения были бы аналогичными, и мы бы доказали, что прямая $AB$ перпендикулярна плоскости, проходящей через $AC$ и ее проекцию на $\gamma$.

Ответ: Что и требовалось доказать.