Номер 359, страница 133 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

359. Прямоугольные треугольники $ABC$ и $ACD$, лежащие в перпендикулярных плоскостях, имеют общий катет $AC$, равный $2\sqrt{3}$. Найдите длину отрезка $BD$, учитывая, что углы $ACB$ и $CAD$ равны $30^\circ$.

По условию задачи даны два прямоугольных треугольника $ABC$ и $ACD$, которые лежат в перпендикулярных плоскостях и имеют общий катет $AC = 2\sqrt{3}$. Также известно, что $\angle ACB = 30^\circ$ и $\angle CAD = 30^\circ$. Требуется найти длину отрезка $BD$.

1. Определим, какие углы в треугольниках являются прямыми.
В треугольнике $ABC$ сторона $AC$ является катетом, следовательно, прямой угол должен быть при вершине $A$ или $C$. Поскольку $\angle ACB = 30^\circ$, он не может быть прямым. Значит, в треугольнике $ABC$ прямой угол — это $\angle BAC = 90^\circ$.
Аналогично, в треугольнике $ACD$ сторона $AC$ является катетом. Прямой угол может быть при вершине $A$ или $C$. Поскольку $\angle CAD = 30^\circ$, он не может быть прямым. Значит, в треугольнике $ACD$ прямой угол — это $\angle ACD = 90^\circ$.

2. Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABC$ ($\angle BAC = 90^\circ$).
Мы знаем катет $AC = 2\sqrt{3}$ и противолежащий ему угол $\angle ACB = 30^\circ$. Найдем длину катета $AB$:
$\tan(\angle ACB) = \frac{AB}{AC}$
$AB = AC \cdot \tan(30^\circ) = 2\sqrt{3} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = 2$.

3. Рассмотрим прямоугольный треугольник $ACD$ ($\angle ACD = 90^\circ$).
Мы знаем катет $AC = 2\sqrt{3}$ и прилежащий к нему острый угол $\angle CAD = 30^\circ$. Найдем длину гипотенузы $AD$:
$\cos(\angle CAD) = \frac{AC}{AD}$
$AD = \frac{AC}{\cos(30^\circ)} = \frac{2\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 2\sqrt{3} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = 4$.

4. Найдем длину отрезка $BD$.
Плоскости $(ABC)$ и $(ACD)$ перпендикулярны по условию, а $AC$ — их линия пересечения.
Так как $AB$ лежит в плоскости $(ABC)$ и $AB \perp AC$ (поскольку $\angle BAC = 90^\circ$), то прямая $AB$ перпендикулярна плоскости $(ACD)$.
Если прямая перпендикулярна плоскости, то она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости и проходящей через точку пересечения. Прямая $AD$ лежит в плоскости $(ACD)$ и проходит через точку $A$. Следовательно, $AB \perp AD$, что означает, что $\angle BAD = 90^\circ$.
Таким образом, треугольник $ABD$ является прямоугольным.

5. В прямоугольном треугольнике $ABD$ катеты равны $AB=2$ и $AD=4$. Найдем гипотенузу $BD$ по теореме Пифагора:
$BD^2 = AB^2 + AD^2$
$BD^2 = 2^2 + 4^2 = 4 + 16 = 20$
$BD = \sqrt{20} = \sqrt{4 \cdot 5} = 2\sqrt{5}$.

Ответ: $2\sqrt{5}$