Номер 356, страница 133 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

356. Из вершины $A$ треугольника $ABC$ возведён перпендикуляр $AM$, и точка $M$ соединена с серединой $D$ стороны $BC$. Докажите, что:

a) прямые $MD$ и $BC$ перпендикулярны, если стороны $AB$ и $AC$ равны;

б) стороны $AB$ и $AC$ равны, если прямые $MD$ и $BC$ перпендикулярны.

а) прямые $MD$ и $BC$ перпендикулярны, если стороны $AB$ и $AC$ равны;

По условию задачи, из вершины $A$ треугольника $ABC$ возведён перпендикуляр $AM$ к его плоскости. Это означает, что $AM \perp (ABC)$. Отрезок $MD$ является наклонной к плоскости $(ABC)$, а отрезок $AD$ — её проекцией на эту плоскость.

Дано, что стороны $AB$ и $AC$ равны, то есть $\triangle ABC$ — равнобедренный с основанием $BC$. Точка $D$ является серединой стороны $BC$, следовательно, $AD$ — это медиана, проведённая к основанию. В равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию, также является и высотой. Таким образом, $AD \perp BC$.

Применим теорему о трёх перпендикулярах. Она гласит, что если проекция наклонной на плоскость ($AD$) перпендикулярна прямой, лежащей в этой плоскости ($BC$), то и сама наклонная ($MD$) перпендикулярна этой прямой. Так как мы установили, что $AD \perp BC$, то из этого следует, что $MD \perp BC$. Утверждение доказано.

Ответ: доказано.

б) стороны $AB$ и $AC$ равны, если прямые $MD$ и $BC$ перпендикулярны.

В этом пункте нам дано, что прямые $MD$ и $BC$ перпендикулярны ($MD \perp BC$). Аналогично пункту а), $AM$ — перпендикуляр к плоскости $(ABC)$, $MD$ — наклонная, а $AD$ — её проекция.

Воспользуемся обратной теоремой о трёх перпендикулярах. Согласно ей, если наклонная ($MD$) перпендикулярна прямой, лежащей в плоскости ($BC$), то и проекция этой наклонной ($AD$) перпендикулярна той же прямой. Из условия $MD \perp BC$ следует, что $AD \perp BC$.

Теперь рассмотрим $\triangle ABC$. Отрезок $AD$ является медианой, так как $D$ — середина стороны $BC$. Мы также выяснили, что $AD$ является высотой, поскольку $AD \perp BC$. Если в треугольнике медиана, проведённая к некоторой стороне, совпадает с высотой, проведённой к той же стороне, то такой треугольник является равнобедренным. В нашем случае это означает, что стороны $AB$ и $AC$ равны. Утверждение доказано.

Ответ: доказано.