Номер 354, страница 133 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

354. Измерения $AB$, $BC$ и $CC_1$ прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ равны $a$, $b$ и $c$ соответственно. Найдите угол между прямыми:

a) $AC$ и $BB_1$;

б) $A_1D$ и $C_1A$.

а) Угол между скрещивающимися прямыми $AC$ и $BB_1$ можно найти, заменив одну из прямых на параллельную ей, пересекающую другую. Прямая $BB_1$ параллельна ребру $AA_1$, так как $AA_1B_1B$ — прямоугольник. Следовательно, искомый угол равен углу между прямыми $AC$ и $AA_1$.
По определению прямоугольного параллелепипеда, ребро $AA_1$ перпендикулярно плоскости основания $ABCD$. Прямая $AC$ лежит в этой плоскости. Если прямая перпендикулярна плоскости, то она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости. Таким образом, $AA_1 \perp AC$. Угол между ними составляет $90^\circ$.
Ответ: $90^\circ$

б) Для нахождения угла между скрещивающимися прямыми $A_1D$ и $C_1A$ воспользуемся методом координат. Введем прямоугольную систему координат с началом в точке $A(0, 0, 0)$. Оси направим вдоль ребер: ось $Ox$ вдоль $AB$, ось $Oy$ вдоль $AD$, ось $Oz$ вдоль $AA_1$.
В этой системе координат вершины будут иметь следующие координаты:
$A(0, 0, 0)$
$D(0, b, 0)$ (так как $AD = BC = b$)
$A_1(0, 0, c)$ (так как $AA_1 = CC_1 = c$)
$C_1(a, b, c)$ (так как $AB=a$, $BC=b$, $CC_1=c$)

Найдем векторы, соответствующие нашим прямым:
Вектор $\vec{A_1D}$ имеет координаты, равные разности координат точек $D$ и $A_1$:$\vec{A_1D} = (0-0, b-0, 0-c) = (0, b, -c)$.
Вектор $\vec{C_1A}$ имеет координаты, равные разности координат точек $A$ и $C_1$:$\vec{C_1A} = (0-a, 0-b, 0-c) = (-a, -b, -c)$.

Косинус угла $\phi$ между векторами $\vec{A_1D}$ и $\vec{C_1A}$ вычисляется по формуле:$\cos\phi = \frac{\vec{A_1D} \cdot \vec{C_1A}}{|\vec{A_1D}| \cdot |\vec{C_1A}|}$

Найдем скалярное произведение векторов:$\vec{A_1D} \cdot \vec{C_1A} = 0 \cdot (-a) + b \cdot (-b) + (-c) \cdot (-c) = -b^2 + c^2 = c^2 - b^2$.

Найдем длины (модули) векторов:$|\vec{A_1D}| = \sqrt{0^2 + b^2 + (-c)^2} = \sqrt{b^2 + c^2}$.
$|\vec{C_1A}| = \sqrt{(-a)^2 + (-b)^2 + (-c)^2} = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$.

Подставим найденные значения в формулу для косинуса:$\cos\phi = \frac{c^2 - b^2}{\sqrt{b^2 + c^2} \cdot \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$

Угол между прямыми является острым (или прямым), поэтому его косинус должен быть неотрицательным. Таким образом, косинус угла $\alpha$ между прямыми равен модулю косинуса угла между направляющими векторами:
$\cos\alpha = \frac{|c^2 - b^2|}{\sqrt{b^2 + c^2} \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$
Следовательно, сам угол $\alpha$ равен:$\alpha = \arccos\left(\frac{|c^2 - b^2|}{\sqrt{b^2+c^2} \sqrt{a^2+b^2+c^2}}\right)$
Ответ: $\arccos\left(\frac{|c^2 - b^2|}{\sqrt{(b^2+c^2)(a^2+b^2+c^2)}}\right)$