Номер 352, страница 132 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

352. Есть прямоугольный треугольник $ABC$, один катет которого и прилежащий к нему острый угол равны $m$ и $\beta$. Из вершины прямого угла $C$ возведён перпендикуляр $CD$, равный $n$. Найдите расстояние от точки $D$ до прямой $AB$.

Пусть $\triangle ABC$ — данный прямоугольный треугольник, у которого $\angle C = 90^\circ$. По условию, один из катетов и прилежащий к нему острый угол равны $m$ и $\beta$. Для определённости положим, что катет $AC = m$ и прилежащий к нему острый угол $\angle A = \beta$.

Из вершины прямого угла $C$ к плоскости треугольника $(ABC)$ возведён перпендикуляр $CD$, длина которого равна $n$. Это означает, что $CD \perp (ABC)$.

Требуется найти расстояние от точки $D$ до прямой $AB$. Это расстояние равно длине перпендикуляра, опущенного из точки $D$ на прямую $AB$. Обозначим этот перпендикуляр как $DH$, где точка $H$ лежит на прямой $AB$. Таким образом, мы ищем длину отрезка $DH$, причём $DH \perp AB$.

Рассмотрим отрезок $CH$. Отрезок $CD$ является перпендикуляром к плоскости $(ABC)$. Отрезок $DH$ является наклонной, проведённой из точки $D$ к прямой $AB$, лежащей в этой плоскости. Отрезок $CH$ является проекцией этой наклонной на плоскость $(ABC)$.

Согласно теореме о трёх перпендикулярах, если наклонная ($DH$) перпендикулярна некоторой прямой ($AB$) в плоскости, то и её проекция ($CH$) также перпендикулярна этой прямой. Так как по нашему построению $DH \perp AB$, то из теоремы следует, что $CH \perp AB$.

Это означает, что $CH$ — это высота прямоугольного треугольника $ABC$, проведённая из вершины прямого угла $C$ к гипотенузе $AB$. Длину этой высоты можно найти из прямоугольного треугольника $ACH$ (в котором $\angle CHA = 90^\circ$). В $\triangle ACH$ катет $CH$ противолежит углу $\angle A = \beta$, а гипотенуза равна $AC = m$. Поэтому: $CH = AC \cdot \sin(\angle A) = m \cdot \sin(\beta)$

Теперь рассмотрим треугольник $DCH$. Поскольку $CD \perp (ABC)$ и прямая $CH$ лежит в этой плоскости, то $CD \perp CH$. Следовательно, $\triangle DCH$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $C$.

В этом треугольнике нам известны длины катетов: $CD = n$ и $CH = m \sin(\beta)$. Искомое расстояние $DH$ является гипотенузой этого треугольника. Применим теорему Пифагора: $DH^2 = CD^2 + CH^2$

Подставим известные значения: $DH^2 = n^2 + (m \sin(\beta))^2 = n^2 + m^2 \sin^2(\beta)$

Извлекая квадратный корень из обеих частей, получаем окончательное выражение для искомого расстояния: $DH = \sqrt{n^2 + m^2 \sin^2(\beta)}$

Ответ: $\sqrt{n^2 + m^2 \sin^2(\beta)}$