Номер 353, страница 132 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

353. Концы $A$ и $B$ отрезков $AA_1$ и $BB_1$ принадлежат плоскости $\alpha$, а сами отрезки ей перпендикулярны и расположены по одну сторону от плоскости. Найдите углы четырёхугольника $AA_1B_1B$, учитывая, что:

а) $AA_1 = BB_1$;

б) $A_1B_1 = 2 AB$;

в) $A_1B_1 : AB = 3 : 2$.

По условию задачи, отрезки $AA_1$ и $BB_1$ перпендикулярны плоскости $\alpha$. Концы $A$ и $B$ этих отрезков принадлежат плоскости $\alpha$. Это означает, что:

1. Отрезки $AA_1$ и $BB_1$ параллельны друг другу ($AA_1 \parallel BB_1$), так как две прямые, перпендикулярные одной и той же плоскости, параллельны.
2. Поскольку $AA_1 \parallel BB_1$, все четыре точки $A, A_1, B_1, B$ лежат в одной плоскости, образуя плоский четырёхугольник $AA_1B_1B$. Этот четырёхугольник является трапецией с основаниями $AA_1$ и $BB_1$.
3. Так как $AA_1 \perp \alpha$, а отрезок $AB$ лежит в плоскости $\alpha$, то $AA_1 \perp AB$. Следовательно, угол $\angle BAA_1 = 90^\circ$.
4. Аналогично, так как $BB_1 \perp \alpha$, а отрезок $AB$ лежит в плоскости $\alpha$, то $BB_1 \perp AB$. Следовательно, угол $\angle ABB_1 = 90^\circ$.

Таким образом, четырёхугольник $AA_1B_1B$ — это прямоугольная трапеция, у которой боковая сторона $AB$ перпендикулярна основаниям $AA_1$ и $BB_1$.

Сумма углов в любом четырёхугольнике равна $360^\circ$. Два угла трапеции нам известны: $\angle BAA_1 = 90^\circ$ и $\angle ABB_1 = 90^\circ$. Сумма двух других углов, $\angle AA_1B_1$ и $\angle BB_1A_1$, должна быть равна $360^\circ - 90^\circ - 90^\circ = 180^\circ$.

Для нахождения этих двух углов рассмотрим прямоугольный треугольник, который можно построить внутри трапеции. Проведём из одной из вершин верхнего основания (например, $A_1$) перпендикуляр к прямой, содержащей другое основание ($BB_1$). Назовем точку пересечения $C$. В результате образуется прямоугольник $ABCA_1$ и прямоугольный треугольник $\triangle A_1CB_1$.

• Катет $A_1C$ этого треугольника равен стороне $AB$ трапеции ($A_1C = AB$).
• Катет $CB_1$ равен разности длин оснований трапеции ($CB_1 = |BB_1 - AA_1|$).
• Гипотенуза $A_1B_1$ является боковой стороной трапеции.

Один из неизвестных углов трапеции (тот, который будет острым) можно найти из треугольника $\triangle A_1CB_1$. Например, синус этого угла равен отношению противолежащего катета $A_1C$ к гипотенузе $A_1B_1$: $\sin(\theta_{острый}) = \frac{A_1C}{A_1B_1} = \frac{AB}{A_1B_1}$.

Другой неизвестный угол будет тупым и равен $180^\circ - \theta_{острый}$.

По условию $AA_1 = BB_1$. В этом случае прямоугольная трапеция $AA_1B_1B$ имеет равные основания, а значит, является прямоугольником. В прямоугольнике все углы прямые.

Следовательно, все четыре угла четырёхугольника равны $90^\circ$.

Ответ: $90^\circ, 90^\circ, 90^\circ, 90^\circ$.

По условию $A_1B_1 = 2 AB$. Найдём острый угол трапеции, используя выведенную выше формулу:

$\sin(\theta_{острый}) = \frac{AB}{A_1B_1} = \frac{AB}{2 AB} = \frac{1}{2}$.

Острый угол, синус которого равен $\frac{1}{2}$, составляет $30^\circ$.

Соответственно, второй (тупой) угол равен $180^\circ - 30^\circ = 150^\circ$.

Итак, углы четырёхугольника $AA_1B_1B$ равны $90^\circ, 90^\circ, 30^\circ$ и $150^\circ$.

Ответ: $90^\circ, 90^\circ, 30^\circ, 150^\circ$.

По условию $A_1B_1 : AB = 3 : 2$, что можно записать как $\frac{A_1B_1}{AB} = \frac{3}{2}$.

Найдём синус острого угла трапеции:

$\sin(\theta_{острый}) = \frac{AB}{A_1B_1} = \frac{1}{A_1B_1/AB} = \frac{1}{3/2} = \frac{2}{3}$.

Следовательно, острый угол равен $\arcsin(\frac{2}{3})$.

Второй (тупой) угол равен $180^\circ - \arcsin(\frac{2}{3})$.

Итак, углы четырёхугольника $AA_1B_1B$ равны $90^\circ, 90^\circ, \arcsin(\frac{2}{3})$ и $180^\circ - \arcsin(\frac{2}{3})$.

Ответ: $90^\circ, 90^\circ, \arcsin(\frac{2}{3}), 180^\circ - \arcsin(\frac{2}{3})$.